Sinussatz 2 Lösungen für ein Dreieck

15.02.2018, 06:34	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinussatz 2 Lösungen für ein Dreieck Moin, folgendes 3-Eck ist gegeben: a =4cm c=5cm Alpha = 50° Jetzt kann Gamma einmal 73° sein und 107°, warum? Welches ist das korrekte Dreieck? Es dankt der Spender
15.02.2018, 07:15	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den gegebenen Stücken lassen sich eben zwei verschiedene Dreiecke konstruieren, da Alpha der kürzeren Seite gegenüber liegt ...
15.02.2018, 08:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder um es nochmal deutlich zu betonen: Beide Lösungen sind korrekt im Sinne der gegebenen drei Größen! Der Kongruenzsatz SsW beinhaltet nicht umsonst die Beschreibung "gegeben zwei Seiten sowie der Winkel, der der längeren (!) Seite gegenüber liegt". Was du hier vorliegen hast ist aber die Situtation sSw, d.h. hier ist nur der Winkel gegeben, der der kürzeren Seite gegenüberliegt. Und da kann alles mögliche passieren, von zwei Lösungen (wie bei dir), eine Lösung (dann rechtwinkliges Dreieck) bis hin zu keiner Lösung.
20.02.2018, 21:31	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt: ich muss das immre zeichnerisch noch überprüfen oder sehe ich das auch gleich, wenn ich es nur rechnerisch mache?
20.02.2018, 22:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnerisch geht auch. Betrachten wir die Situation, dass (wie hier) $\begin{eqnarray} a,c,\alpha \end{eqnarray}$ gegeben sind. Wir kürzen $\begin{eqnarray} s := \frac{c}{a}\sin\alpha \end{eqnarray}$ ab, per Sinussatz gilt dann ja $\begin{eqnarray} \sin\gamma = s \end{eqnarray}$ . Nun gilt es zu entscheiden, in welchen der folgenden Fälle die gegebenen Werte fallen: Fall 1 (SsW): $\begin{eqnarray} a\geq c \end{eqnarray}$ Hier ist alles klar, das Dreieck ist eindeutig mit $\begin{eqnarray} \gamma = \arcsin(s) \end{eqnarray}$ Fall 2 (sSw): $\begin{eqnarray} a<c \end{eqnarray}$ Hier gibt es die von mir oben erwähnten drei Möglichkeiten: Fall 2.1: $\begin{eqnarray} s>1 \end{eqnarray}$ Hier gibt es gar kein Dreieck. Fall 2.2: $\begin{eqnarray} s=1 \end{eqnarray}$ Hier gibt es genau ein Dreieck, und zwar ein rechtwinkliges mit $\begin{eqnarray} \gamma = 90^{\circ} \end{eqnarray}$ . Fall 2.3: $\begin{eqnarray} s<1 \end{eqnarray}$ Hier gibt es genau zwei Dreiecke: Eins mit Winkel $\begin{eqnarray} \gamma = \arcsin(s) \end{eqnarray}$ und ein anderes mit stumpfen Winkel $\begin{eqnarray} \gamma = 180^{\circ}-\arcsin(s) \end{eqnarray}$ . Deine Werte von oben fallen wegen $\begin{eqnarray} a<c \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} s\approx 0.9576 \end{eqnarray}$ in Fall 2.3, also zwei Lösungsdreiecke.

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