Sinussatz 2 Lösungen für ein Dreieck

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Spender Auf diesen Beitrag antworten »
Sinussatz 2 Lösungen für ein Dreieck
Moin,

folgendes 3-Eck ist gegeben:
a =4cm
c=5cm
Alpha = 50°

Jetzt kann Gamma einmal 73° sein und 107°, warum? Welches ist das korrekte Dreieck?

Es dankt
der Spender
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit den gegebenen Stücken lassen sich eben zwei verschiedene Dreiecke konstruieren, da Alpha der kürzeren Seite gegenüber liegt ...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder um es nochmal deutlich zu betonen: Beide Lösungen sind korrekt im Sinne der gegebenen drei Größen!

Der Kongruenzsatz SsW beinhaltet nicht umsonst die Beschreibung "gegeben zwei Seiten sowie der Winkel, der der längeren (!) Seite gegenüber liegt".

Was du hier vorliegen hast ist aber die Situtation sSw, d.h. hier ist nur der Winkel gegeben, der der kürzeren Seite gegenüberliegt. Und da kann alles mögliche passieren, von zwei Lösungen (wie bei dir), eine Lösung (dann rechtwinkliges Dreieck) bis hin zu keiner Lösung. unglücklich
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt:
ich muss das immre zeichnerisch noch überprüfen oder sehe ich das auch gleich, wenn ich es nur rechnerisch mache?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnerisch geht auch. Betrachten wir die Situation, dass (wie hier) gegeben sind. Wir kürzen ab, per Sinussatz gilt dann ja .

Nun gilt es zu entscheiden, in welchen der folgenden Fälle die gegebenen Werte fallen:


Fall 1 (SsW):

Hier ist alles klar, das Dreieck ist eindeutig mit

Fall 2 (sSw):

Hier gibt es die von mir oben erwähnten drei Möglichkeiten:
    Fall 2.1:

    Hier gibt es gar kein Dreieck.

    Fall 2.2:

    Hier gibt es genau ein Dreieck, und zwar ein rechtwinkliges mit .

    Fall 2.3:

    Hier gibt es genau zwei Dreiecke: Eins mit Winkel und ein anderes mit stumpfen Winkel .


Deine Werte von oben fallen wegen sowie in Fall 2.3, also zwei Lösungsdreiecke.
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