Offene und abgeschlossene Mengen

15.02.2018, 10:57	grewfdq22	Auf diesen Beitrag antworten »
Offene und abgeschlossene Mengen Meine Frage: Guten Tag, Ich befinde mich im R^2, Wenn ich eine geschlossene Menge A gegeben habe. Finde ich immer eine offene Menge B, die diese abgeschlossene Menge enthält, aber die Maße beider Mengen fast identisch sind, also L(B)-L(A)<epsilon? Meine Ideen: Also ich denke ja. Man kann diese offene Menge ja gut beschreiben mit {x?R^2 \| dist(x,A)<epsilon}. Und wenn man Epsilon klein genug wählt, düften sich die Maße auch nur um epsilon unterscheiden
15.02.2018, 11:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Offene und abgeschlossene Mengen Die Aussage gilt sogar für jede Lebesgue-messbare Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (mit endlichem Maß). Ansonsten ist die Differenz nicht wohldefiniert. Allgemein nennt es sich äußere Regularität von Maßen. Und deine Konstruktion ist leider in den meisten Fällen zu grob. Die Menge $\begin{eqnarray} A = \mathbb Z^2 \end{eqnarray}$ ist eine Lebesgue-Nullmenge, abgeschlossen, aber $\begin{eqnarray} B = \{ x \in \mathbb R^2 \| dist(x, A) < \epsilon\} \end{eqnarray}$ hat unendlich Maß für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ .

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