Extremwertaufgabe Fettbehälter

15.02.2018, 20:24

Lolali

Extremwertaufgabe Fettbehälter

Meine Frage:
Ein zylindrischer Behälter für 1000 cm³ Fett hat einen Mantel aus Pappe. während Deckel und Boden aus Metall gefertigt sind. Das Metall ist pro cm³ 4mal so teuer wie die Pappe.
Welche Maße muss der Behälter haben, damit die Materialkosten minimal sind?

Meine Ideen:
(1) HB $\begin{eqnarray*} K(r,h)=2\pi rh+8\pi r^2 \end{eqnarray*}$
(2) NB $\begin{eqnarray*} V=1000\pi r^2 h => h=\frac{1000}{\pi r^2} \end{eqnarray*}$
(3) Zf $\begin{eqnarray*} K(r)=8\pi r^2+\frac{2000}{r} \end{eqnarray*}$
(4) minimal für r=3,41 cm und h=27,37 cm

Stimmt das so? smile

LaTeX repariert. Steffen

16.02.2018, 00:34

Dopap

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RE: Extremwertaufgabe Fettbehälter

Zitat:

Meine Ideen:
(1) HB $\begin{eqnarray*} K(r,h)=2\pi rh+8\pi r^2 \end{eqnarray*}$
(2) NB $\begin{eqnarray*} 1000=\pi r^2 h => h=\frac{1000}{\pi r^2} \end{eqnarray*}$
(3) Zf $\begin{eqnarray*} K(r)=8\pi r^2+\frac{2000}{r} \end{eqnarray*}$
(4) minimal für r=3,41 cm und h=27,37 cm

16.02.2018, 00:36

sibelius84

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Ja, falls $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}\approx 3,41 \end{eqnarray*}$ .

16.02.2018, 13:51

mYthos

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.. ist es! Big Laugh

mY+

16.02.2018, 19:41

sibelius84

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Ja! Es gilt ja $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{\pi}} = \frac{5}{\sqrt[3]\pi} \end{eqnarray*}$ und daran kann man ganz gut erkennen, dass das ungefähr hinkommen kann.

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