Beweis : Jede Cauchy Folge ist beschränkt

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Liw198 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis : Jede Cauchy Folge ist beschränkt
Meine Frage:
Also ich gehe gerade meine Unterlagen durch und bei einem Beweis verstehe ich nicht ganz, wie ich das interpretieren soll. Also beim Beweis zu dem Satz, dass jede Cauchy-Folge beschränkt ist, steht unter anderem am Ende folgendes: /an/ < max (/a_1/,/a_2/,...,/a_N-1/,/a_N/) für alle n ? N.

Dabei sollen /*/ Betragsstriche sein, das < eigentlich ein,,kleiner gleich'' , die Klammern eigentlich geschweift und das ? soll das Elementzeichen sein.

Meine Ideen:
Also ich habe bis jetzt immer nur den Begriff Maximalwerte gelesen, sowie die Definition : max(k?Z:k<x) gefunden, kann aber mit diesen bildlich nicht viel anfangen. Vielleicht ist es auch ganz einfach und ich mach es mir zu schwer. Auf jeden Fall wäre ich über Hilfe sehr dankbar.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Per definitionem ist eine Cauchyfolge, falls

.

Für alle epsilon>0 existiert nach dieser Definition so ein Grenzindex n_0, also insbesondere auch für epsilon:=1.
Damit gilt dann nach dieser Definition: . Da dies wieder für alle stimmt, gilt es insbesondere auch für . Dies liefert

,

woraus du die Beschränktheit mit ein bis zwei einfachen Anschlussüberlegungen leicht folgern kannst.

---

Da du nur einen Fetzen eines Beweises zitiert hattest, konnte ich dir hier nicht helfen, 'deinen' Beweis zu verstehen, sondern habe von vorne neu angesetzt. Meines Erachtens reicht es, wenn man Zusammenhänge irgendwie versteht (solange dieses 'irgendwie' sinnvoll und korrekt ist); es gibt keine Notwendigkeit, sie auf eine bestimmte Weise zu verstehen. Vielleicht hilft dir dies ja wenigstens zu verstehen, warum eine Cauchyfolge beschränkt ist.

Falls du nicht mehr nur in , sondern bereits in allgemeinen metrischen Räumen unterwegs bist, musst du den Betrag jeweils durch die Distanz ersetzen (sprich statt zB ).
 
 
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