Konvergenzschranke

16.02.2018, 13:38

Knightfire66

Konvergenzschranke

Meine Frage:
Hallo,

hier ist die Aufgabe:
[attach]46525[/attach]

Ich habe soweit folgendes:

$\begin{eqnarray*} | \frac{n+cos n}{n^2}| \leq10^{-2} <=> \lim_{n \to \infty}| \frac{n+1}{n^2}| \leq10^{-2} \Rightarrow (*_1)\frac{n+1}{n^2} \leq \frac{2n}{n^2} = (*_3) \frac{2}{n} \Rightarrow (*_2) \frac{2}{n} < 10^{-2} \end{eqnarray*}$

aus der letzen ungleichung folgt:

N_1 ? 201

N_2 ? 2.000.001

So nun die Fragen...

wieso verschwinden die Betragsstriche bei *_1? sollte man da nicht erst (...)² nehmen damit die Wurzel vom Betrag verschwindet und danach alles (..)² machen? .. dann kommt aber ganz was anderes raus...

wieso ist hier bei *_2 ein " < " statt " <= "? es hat vielleicht mit der "Majorante", die wir finden zutun, also bei *_3. Aber ich weiß nicht wie genau...

mfg

fol

Meine Ideen:
....

16.02.2018, 14:25

mYthos

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Wegen der Fragezeichen in deinem Text ist der Beitrag tw. unleserlich (!)
----
cos(n) kann sich nur zwischen +1 oder -1 bewegen. (n-1) ist minimal 0, somit können die Betragszeichen weggelassen werden.

Die erste Ungleichung wird dann zu

$\begin{eqnarray*} 100n \pm 100 < n^2 \end{eqnarray*}$

...

[ $\begin{eqnarray*} n \geq 101 \end{eqnarray*}$ ]

mY+

16.02.2018, 14:36

HAL 9000

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@Knightfire66

Sei bitte ein wenig vorsichtiger mit dem Gebrauch der Implikations- bzw. Äquivalenzpfeile. Das hier z.B.

Zitat:

Original von Knightfire66
$\begin{eqnarray*} | \frac{n+cos n}{n^2}| \leq10^{-2} <=> \lim_{n \to \infty}| \frac{n+1}{n^2}| \leq10^{-2} \end{eqnarray*}$

ist Unsinn. Was du vielleicht meinst ist

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{n+\cos(n)}{n^2} \right| \leq 10^{-2} \;\Leftarrow\; \left| \frac{n+1}{n^2} \right| \leq 10^{-2} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. die rechts stehende Ungleichung ist hinreichend für die links, und genau das reicht hier ja auch. Sie ist (zumindest auf den ersten Blick) nicht notwendig!!!

Zitat:

Original von Knightfire66
wieso verschwinden die Betragsstriche bei *_1?

Weil $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Folgenindex hier eine positive ganze Zahl ist, demzufolge sind dann auch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n^2} \end{eqnarray*}$ positiv, und damit kann man den Betrag auch weglassen.

Zitat:

Original von Knightfire66
wieso ist hier bei *_2 ein " < " statt " <= "?

Das hat keine tiefere Bedeutung, man kann auch mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ arbeiten. Man muss nur verstehen, dass auch im weiteren Verlauf dieser Zeile nicht mit Äquivalenzen, sondern mit weiteren hinreichenden Abschätzungen gearbeitet wird, vollständig richtig wäre daher für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ die Kette

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{n+\cos(n)}{n^2} \right| \leq 10^{-2} \;\Leftarrow\; \left| \frac{n+1}{n^2} \right| \leq 10^{-2} \;\Leftrightarrow\; \frac{n+1}{n^2} \leq 10^{-2} \;\stackrel{*1}{\Leftarrow}\; \frac{2n}{n^2}\leq 10^{-2} \;\stackrel{*3}{\Leftrightarrow}\; \frac{2}{n}\leq 10^{-2} \;\stackrel{*2}{\Leftarrow}\; \frac{2}{n} < 10^{-2} \end{eqnarray*}$ ,

Bei *1 haben wir wieder eine hinreichende Umformung, die wegen des für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ geltenden $\begin{eqnarray*} n+1\leq 2n \end{eqnarray*}$ möglich ist. Eigentlich reicht *3 aus für die weitere Rechnung, die Autoren oben haben sich für ein weiteres hinreichend *2 entschlossen - nun ja, es ist zumindest nicht falsch (wenn auch überflüssig).

16.02.2018, 17:44

Knightfire66

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Hallo, vielen Dank für Antworten...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 100n \pm 100 < n^2 \end{eqnarray*}$

...

[ $\begin{eqnarray*} n \geq 101 \end{eqnarray*}$ ]

mY+

achso ok also 100 und kein 200...

und da wäre ich wieder bei meinem Problem:

Zitat:

Das hat keine tiefere Bedeutung, man kann auch mit ≤ arbeiten

also wäre das echt egal, ob man < oder <= macht da bei *_3?... stimmt die ungleichung würde sich dadurch ändern und man könnte dann 2/n<= 10^-2 -> n >= 200 bekommen...

ist das falsch? weil sollte doch 100 bzw 101 sein?

EDIT: ich hatte davor was falsch verstanden...

mfg

16.02.2018, 17:51

HAL 9000

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Wie so viele missverstehst auch du diesen Typ Problemstellung:

Es geht NICHT darum, die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left| \frac{n+\cos(n)}{n^2} \right| \leq 10^{-2} \end{eqnarray*}$ zu lösen. Sondern nur darum, einen Wert $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass diese Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt.

Ob es darüber hinaus auch noch weitere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt, die die Ungleichung auch lösen, ist völlig ohne Belang. Und so ist eben $\begin{eqnarray*} N=101 \end{eqnarray*}$ genauso eine richtige Antwort wie $\begin{eqnarray*} N=200 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N=34294823957295472 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

16.02.2018, 18:05

Knightfire66

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wie so viele missverstehst auch du diesen Typ Problemstellung:

achso stimmt dadurch, dass ich ja durch schätzungen die folge umgeformt habe soll ich am ende nur meine umgeformte ungleichung benutzen Hammer

und mYthos hat es eben anders gemacht und hat 100 rausbekommen... als ich 100 sah, war ich kurz verwirrt aber klar das macht sinn...

also danke sehr Big Laugh

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