Differentialformen

16.02.2018, 17:47	Lebesguexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialformen Meine Frage: Hallo, Folgende Aufgabe [attach]46533[/attach] Meine Ideen: Ich hab als Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray} \Phi(\phi,z)= \begin{pmatrix} \sqrt{z}cos \phi \\ \sqrt{z}sin\phi \\ z \end{pmatrix} <br /> \phi \in \left[0,2\pi \right) , z \in\left[0,1\right) \end{eqnarray}$ Meine Frage: Wenn ich jetzt im Integral dieganzen Komponenten ersetze sprich y mit $\begin{eqnarray} sqrt{z}sin\phi \end{eqnarray}$ usw.. die Ausdrücke mit dx ,dy etc. was genau kann ich darunter verstehen ? ist dx beispielsweise die Ableitung meiner Parametrisierung in der ersten Komponente nach x ?
16.02.2018, 23:33	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Lebesguexx, wähle doch einfach als Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \Phi(x,y):=\begin{pmatrix}x\\ y\\ x^2+y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} -1<x,y<1 \end{eqnarray}$ . Es kann falsch sein, was ich jetzt schreibe (evtl findet sich noch jemand kompetenteres), aber ich glaube, für das dz kann man nun folgendermaßen vorgehen: Man hat ja die Gleichung $\begin{eqnarray} z=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ , das ergibt $\begin{eqnarray} \mathrm d z = \mathrm d (x^2+y^2) \end{eqnarray}$ . Fasst man dies als totales Differential auf, so ergibt sich $\begin{eqnarray} \mathrm d z = \frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial x}\mathrm d x + \frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}\mathrm d y = 2x\mathrm d x + 2y\mathrm d y \end{eqnarray}$ . Damit kann man das Integral ausrechnen. Ich meine, es müsste dasselbe herauskommen wie bei Integration des Feldes $\begin{eqnarray} \vec f(x,y,z):=\begin{pmatrix}3y \\ -5x \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ über A (Fluss des Feldes). LG sibelius84 EDIT: Ich hab mal ein bisschen gerechnet und glaube wirklich, das klappt nicht mit meinem totalen Differential, sorry. Aber vielleicht hilft ja die folgende Transformationsformel: $\begin{eqnarray} f^\ast (dy^1 \wedge ... \wedge dy^n) = \det(\partial_jf^i) dx^1 \wedge ... \wedge dx^n \end{eqnarray}$
17.02.2018, 12:02	Lebesguexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke für deine Mühe ! Ich glaube aber das mit dem dz habe ich schonmal irgendwo gesehen,wo das auch geklappt hat..anders fände ich da jetzt auch keine Möglichkeit..

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