Herleitung: cos^2+sin^2=1

16.02.2018, 19:02

Snexx_Math

Herleitung: cos^2+sin^2=1

Hallo zusammen,

ich brauch mal Hilfe um $\begin{eqnarray*} cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 \end{eqnarray*}$ nachvollziehen zu können. Denn in der Vorlesung hatten wir nur geschrieben, dass es direkt aus der Definition folgt.

Wir hatten $\begin{eqnarray*} cos(x)= Re(e^{ix}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin(x)= Im(e^{ix}) \end{eqnarray*}$

Nun also meine Frage inwiefern folgt nun aus der Definition, dass $\begin{eqnarray*} cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 \end{eqnarray*}$

Falls es hilft : wir hatten noch vorher aufgeschrieben, dass $\begin{eqnarray*} |e^{ix}|^{2}=1 \end{eqnarray*}$

LG

16.02.2018, 19:31

riwe

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RE: Herleitung: cos^2+sin^2=1
ich nehme an du sollst den Pythagoras im Einheitskreis betrachten Augenzwinkern

16.02.2018, 19:37

sibelius84

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Hallo snexx,

generell gilt ja $\begin{eqnarray*} \lvert z \rvert^2 = Re^2(z) + Im^2(z) \end{eqnarray*}$ , hier speziell also

$\begin{eqnarray*} \lvert e^{ix} \rvert^2 = Re^2(e^{ix}) + Im^2(e^{ix}) \end{eqnarray*}$ .

Die linke Seite ist nach dem, was ihr aufgeschrieben habt (ja, es hilft tatsächlich! Augenzwinkern

), gerade gleich 1; und die rechte Seite ist gerade gleich $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)+\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ , woraus die Behauptung folgt.

LG
sibelius84

PS: Wesentlich besser, um das Thema 'aufbauend' zu verstehen, finde ich übrigens: Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit Seiten a,b,c und Hypotenuse c (am besten eine kleine Skizze machen). Dann gilt ja $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=\frac a c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac b c \end{eqnarray*}$ . Dies ergibt

$\begin{eqnarray*} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\left(\frac a c \right)^2+\left(\frac b c\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{c^2} \stackrel{Pythagoras}= \frac{c^2}{c^2} = 1. \end{eqnarray*}$

Dieser Beweis funktioniert zwar nur für $\begin{eqnarray*} 0<\alpha < 90^\circ \end{eqnarray*}$ , ist aber wesentlich anschaulicher.

16.02.2018, 20:36

Snexx_Math

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Erstmal Danke !

verstehen tue ich alles.

Aber müsste es nicht heißen: $\begin{eqnarray*} |e^{ix}|^{2}=Re^{2}(e^{ix})+2\cdot i\cdot sinx\cdot cosx + Im^{2}(e^{ix}) \end{eqnarray*}$

Ich hatte mir jetzt gedacht:

Der Betrag einer komplexen Zahl z ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{z\cdot \overline{z}} \end{eqnarray*}$

Also hier:

$\begin{eqnarray*} |e^{ix}|= \sqrt{e^{ix} \cdot e^{-ix}} = \sqrt{cosx+isinx \cdot cosx-isinx} = (3. Binomische Formel) = \sqrt{cos^{2}x-(-sin^{2}x)} = \sqrt{cos^{2}x+sin^{2}x} = 1 \end{eqnarray*}$

Also nach quadrieren von den letzen beiden Termen erhält man da ja:
$\begin{eqnarray*} cos^{2}x+sin^{2}x=1 \end{eqnarray*}$

16.02.2018, 23:13

sibelius84

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Oder so, wunderbar! smile

16.02.2018, 23:23

Helferlein

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Aber müsste es nicht heißen: $\begin{eqnarray*} |e^{ix}|^{2}=Re^{2}(e^{ix})+2\cdot i\cdot sinx\cdot cosx + Im^{2}(e^{ix}) \end{eqnarray*}$

Nein, denn das wäre eine komplexe Zahl. Der Betrag ist aber immer reell.
Was Du hier berechnet hast ist nicht $\begin{eqnarray*} |e^{ix}|^{2} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (e^{ix})^{2}+2Im^2(e^{ix}) \end{eqnarray*}$

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