Mannigfaltigkeit zeigen

16.02.2018, 19:31	Lebesguexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Mannigfaltigkeit zeigen Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe [attach]46535[/attach] Meine Ideen: Ich parametrisiere M mithilfe von Polarkoordinaten: $\begin{eqnarray} \Phi(r,\phi)= \begin{pmatrix} r cos\phi \\ r sin\phi \end{pmatrix} r\in [\frac{1}{2},1], \phi \in [0,2\pi ) \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} det D \Phi = r \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ungleich 0,sprich voller Rang, ist M eine Untermannigfaltigkeit würde das so reichen ? Nun bzgl. orientierbarkeit..wir haben in der VL gelernt,dass eine Mannigfaltigkeit gd orientierbar ist,wenn es ein stetiges Normalenfeld auf M gibt. Mir fehlt hier so ein bisschen die Intuition.. Der Gradient meiner Parametrisierung ist ja $\begin{eqnarray} D\Phi_{dr} = \begin{pmatrix} cos \phi \\ sin\phi \\ \end{pmatrix} <br /> D\Phi_{d\phi} = \begin{pmatrix} -rsin\phi \\ rcos\phi \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wäre mein "Normalenfeld" auf M die Vektoren die, jeweils zu $\begin{eqnarray} D\Phi_{dr} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D\Phi_{d\phi} \end{eqnarray}$ orthogonal sind ? Falls ja ,hab ich gerade Schwierigkeiten einen anzugeben,der diesen Raum spannt..
17.02.2018, 00:08	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Lebesguexx, vielleicht bin ich hier ein wenig nützlicher als im anderen thread Der erste Teil sollte so passen, ja. Beim zweiten Teil - nun ja, du hast doch sogar einen einelementigen Atlas angeben können, oder? (Man muss evtl. ein wenig damit aufpassen, dass die Parameterbereiche nicht offen sind, aber häufig ist das auch ok.) Eine Mannigfaltigkeit heißt ja orientierbar, wenn es einen Atlas gibt, bei dem alle Kartenwechsel orientierungstreu sind. Bei einem einelementigen Atlas hast du keinen Kartenwechsel, also ist das mit dem "alle" die leere Bedingung und mithin trivialerweise erfüllt. LG sibelius84
17.02.2018, 11:57	Lebesguexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsooo danke stimmt,weil meine Parametrisierung ansich ja schon ein Atlas ist weil es ganz M überdeckt oder ? Und bzgl der Berandung..Man kann ja ablesen dass der radius größer gleich 1/2 und kleiner gleich 1 ist Sollte ich da als Rand einfach ein Kreis angeben oder was genau erwarten die von mir?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »