Frage zu einer Näherung

17.02.2018, 11:49

Heisenberg93

Frage zu einer Näherung

Guten Tag,

in der Physik wird für die Änderung eines Skalarfeldes des öfteren folgende Näherung gemacht:

Sei f (1D) ein Skalarfeld:

$\begin{eqnarray*} \Delta f = f(x+\Delta x) - f(x) = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \cdot \Delta x \approx \frac{df(x)}{dx}\Delta x \end{eqnarray*}$

Es scheint so, als ob der Grenzübergang nur auf den linken Teil wirkt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{(\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}) \cdot \Delta x} \approx \frac{df(x)}{dx}\Delta x \end{eqnarray*}$

Warum funktioniert diese Näherung?

17.02.2018, 12:06

Dopap

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da steckt lediglich das erste Taylorpolynom an der Stelle x dahinter. Oder vereinfacht gesagt die Linearisierung der Funktion oder geometrisch gesehen ein Stück der Tangente in $\begin{eqnarray*} (x,f(x)) \end{eqnarray*}$

wenn du in der letzten Gleichung $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ wegnimmst, dann steht die Definition der Ableitung als Grenzwert der Sekantensteigung da.

17.02.2018, 12:57

Heisenberg93

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Zitat:

.. da steckt lediglich das erste Taylorpolynom an der Stelle x dahinter

Für die Taylor Entwicklung bis zur ersten Ordnung von $\begin{eqnarray*} f(x+\Delta x) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erhalte ich aber folgenden Ausdruck

$\begin{eqnarray*} f(x+\Delta x)= f(x) +\frac{df(x)}{dx} (x-\Delta x) \approx f(x) -\frac{df(x)}{dx} \Delta x \end{eqnarray*}$

Im ersten Beitrag stand aber folgende Gleichung

$\begin{eqnarray*} \Delta f = f(x+\Delta x) - f(x) \approx \frac{df(x)}{dx}\Delta x \quad \Rightarrow \quad f(x+\Delta x) \approx f(x) + \frac{df(x)}{dx}\Delta x \qquad (a) \end{eqnarray*}$

Warum fehlt in der Näherung (a) ein Minus Zeichen?

17.02.2018, 17:18

Dopap

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weil du dich mit den Rollen von $\begin{eqnarray*} x \,\text{und}\,\Delta x \end{eqnarray*}$ vertan hast.

um gleich in Physik auf die Abweichung $\begin{eqnarray*} h=x-x_0 \end{eqnarray*}$ einzugehen kann man diese in der Taylorformel substituieren.
Wenn es um solche kleinen Abweichungen geht, schreibt man gerne mit diesen Abweichungen, z.B. beim Aufzinsen mit $\begin{eqnarray*} q=1+p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(q)=\ln(1+p)=p-\tfrac 12p^2+\tfrac 13p^3-\tfrac14p^4 ... \end{eqnarray*}$

schau hier mal: [Artikel] Taylorapproximation

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