Infimum,Supremum
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06.03.2007, 12:00 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum,Supremum
Hi,

ich habe folgendes problem:

Bestimmen Sie Sup(A), Inf(A) mit Beweis:

A ={x e [-1,1] | -pi/4 < arcsin(x) < pi/2} traurig

was zum teufel soll ich hier mit diesem arcsin(x) anfangen...oder besser noch
wo setzt man hier an?

gruss
pulse

schwer..gell?
06.03.2007, 12:11 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Sinus zwischen -pi/4 und pi/2 monoton wachsend ist, dann kannst du ihn auf die Ungleichung anwenden. Der Arcus-Sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus auf dem Intervall [-pi/2,pi/2].
06.03.2007, 12:13 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

was willst du mir damit genau sagen bitte verwirrt
06.03.2007, 12:14 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dir meine Antwort angeschaut und meintest gleich "Verstehe ich eh nicht" und schreibst dann sowas. Schau dir doch erstmal genau an, was ich geschrieben habe. Ich habe dir indirekt eine Frage gestellt.
06.03.2007, 12:17 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

also was ich bisher weiss, ist das pi/4 = 1/wurzel 2 ist....und man wohl irgendwie die umkehrfunktion benutzen muss....nur, wie genau definiert man die umkehrfunktion?
06.03.2007, 12:24 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pulsedrone
also was ich bisher weiss, ist das pi/4 = 1/wurzel 2 ist....und man wohl irgendwie die umkehrfunktion benutzen muss....nur, wie genau definiert man die umkehrfunktion?

Tja, mal schauen. Also erstmal ist pi/4 nicht das gleiche wie 1/wurzel 2, sondern es gilt



So, und jetzt mache ich meine indirekte Frage zur direkten Frage: Ist der Sinus auf [-pi/2,pi/2] monoton wachsend? Weißt du überhaupt wie die Sinus-Funktion aussieht?
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06.03.2007, 12:27 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

in diesem intervall ist sie monoton steigend...ja
06.03.2007, 12:30 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, dann sind wir schonmal einen Schritt weiter. Wir schauen uns mal nur die Sinusfunktion auf diesem Intervall an. Der Wertebereich ist [-1,1]. Kann es jetzt sein, dass es ein y aus [-1,1] gibt und zwei verschiedene x1 und x2 aus [-pi/2,pi/2], so dass sin(x1) = sin(x2) = y gilt?
06.03.2007, 12:34 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

ja..klar...aber die hätten doch dann verschiedene vorzeichen..oder?
06.03.2007, 12:37 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pulsedrone
ja..klar...

Falsche Antwort. Überlege es dir nochmal anhand des folgenden Schaubildes:



Nimm dir einen y-Wert (z.B. y = 0.5) und überlege dir, wieviele x-Werte es gibt mit sin(x) = y.

EDIT: Ich gehe kurz eine rauchen. Bin gleich wieder da... Wink
06.03.2007, 12:42 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

nun...nach langen hinsehen muss ich meine antwort korrigieren und zugestehen: es gibt jeweils immer nur einen x-wert pro y wert
06.03.2007, 12:50 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Also halten wir fest:

Zu jedem y aus [-1,1] gibt es genau ein x aus [-pi/2,pi/2], so dass sin(x) = y gilt.

Nehmen wir uns also ein y aus [-1,1] daher. Dieses x aus [-pi/2,pi/2] mit sin(x) = y ist dann arcsin(y). Es gilt also

arcsin(sin(x)) = x für x aus [-pi/2,pi/2] und
sin(arcsin(y)) = y für y aus [-1,1].

Der Graph von arcsin sieht folgendermaßen aus



Ist dir dieser Zusammenhang klar?

Edit: Mist, der Plotterkennt den arcsin nicht.
06.03.2007, 12:51 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt ja...danke bis hierher
06.03.2007, 12:58 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Infimum,Supremum
Zitat:
Original von pulsedrone
Bestimmen Sie Sup(A), Inf(A) mit Beweis:

A ={x e [-1,1] | -pi/4 < arcsin(x) < pi/2} traurig

Betrachten wir mal die Ungleichung

-pi/4 < arcsin(x) < pi/2.

Das sind eigentlich zwei Ungleichungen:

arcsin(x) < pi/2 und
-pi/4 < arcsin(x).

Nehmen wir uns mal die erste vor. Der Sinus ist ja wie wir herausbekommen haben auf [-pi/2,pi/2] monoton wachsend. Das heißt:

Aus u < v folgt sin(u) < sin(v).

Jetzt wende diese Gesetzmäßigkeit mal auf die Ungleichung an (mit u = arcsin(x) und v = pi/2).
06.03.2007, 13:04 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Infimum,Supremum
wenn ich irgendein beliebiges x wählen kann, dann sin(0)< sin(1)???
06.03.2007, 13:08 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Infimum,Supremum
Zitat:
Original von pulsedrone
wenn ich irgendein beliebiges x wählen kann, dann sin(0)< sin(1)???

Das stimmt. Aber hilft das weiter bei der Ungleichung? Nochmal. Wir suchen alle x aus [-1,1] für die gilt arcsin(x) < pi/2. Warum gehst du nicht nach meiner Anleitung mit den u und v aus meinem vorigen Beitrag vor?
06.03.2007, 13:10 Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi

der arcsin im Plotter wird mit asin(x) gemacht:
06.03.2007, 13:13 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Calvin. Woher weißt du das?
06.03.2007, 13:13 Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ausprobiert Augenzwinkern
06.03.2007, 13:27 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

tja...und nun steh ich auf dem schlauch, da ich keinen zusammenhang zwischen u< v und allen zahlen die dazu gehören sehe...bzw..ich weiss nicht wie ich das formulieren sollte
06.03.2007, 13:29 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte doch geschrieben:

u = arcsin(x)
v = pi/2.

Und nun wende das Gesetz

u < v <==> sin(u) < sin(v) für u,v aus [-pi/2,pi/2]

an.
06.03.2007, 13:31 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich nun werte einsetzen von 0 bis pi/2?
06.03.2007, 13:38 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Also, wir wollen alle x aus [-1,1] bestimmen mit arcsin(x) < pi/2. Wir nehmen uns ein solches x daher. Es gilt also für dieses x:

arcsin(x) < pi/2.

So. Und jetzt setzen wir u und v wie oben. Was folgt also? Wende stur das Gesetz an.
06.03.2007, 13:44 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

arcsin(0,5) < pi/2

sin(arcsin(0,5)) < sin(pi/2)
1/2 < 1/2 pi
06.03.2007, 13:45 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

aber damit decke ich doch nicht das gesamte intervall ab?
06.03.2007, 13:46 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pulsedrone
arcsin(0,5) < pi/2

sin(arcsin(0,5)) < sin(pi/2)
1/2 < 1/2 pi

Wieso ist bei dir x = 1/2??? Ich hatte doch geschrieben, wir nehmen uns ein x. Das heißt: irgendein x. Jetzt ersetze in deiner Rechung nochmal 0.5 durch x, und dann hast du's.
06.03.2007, 13:49 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

sin(arcsin(x)) < sin(pi/2) aber sin(pi/2) ist bei mir 0,02....
06.03.2007, 13:54 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

sag mal ...hast du icq? smile
06.03.2007, 13:54 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pulsedrone
sin(arcsin(x)) < sin(pi/2) aber sin(pi/2) ist bei mir 0,02....

OK, die erste Ungeichung stimmt!!!
Was ist jetzt sin(arcsin(x))?
sin(pi/2) = 1. Das sollte man wissen:

  • sin(0) = 0
  • sin(pi/4) = 1/sqrt(2)
  • sin(pi/2) = 1
  • sin(3pi/4) = 1/sqrt(2)
  • sin(pi) = 0.
06.03.2007, 13:56 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

sin(-pi/4) < sin(arcsin(x))
06.03.2007, 13:58 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, das ist äquivalent zur zweiten Ungleichung. Aber warum bleibst du nicht bei der ersten? Was hast du da jetzt raus?
06.03.2007, 14:02 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

was sollte ich denn da raus habe? verwirrt
06.03.2007, 14:04 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

0< sin(pi/2)/sin(arcsin(x))
06.03.2007, 14:06 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na, für welche x aus [-1,1] die gilt. Weißt du eigentlich, was wir hier machen? Nochmal: wir suchen diejenigen x aus [-1,1], welche die Ungleichungen

arcsin(x) < pi/2 und -pi/4 < arcsin(x)

erfüllen. Wir hatte bereits herausbekommen, dass die erste Ungleichung äquivalent ist zu der Ungleichung

sin(arcsin(x)) < sin(pi/2).

Was kommt jetzt bei der linken und was bei der rechten Seite dieser Ungleichung heraus?
06.03.2007, 14:09 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ich ohne für das x irgendwas ein zu setzen heraus bekommen, welche zahlen das sind?muss ich das x isolieren und auf eine seite der ungleichung bringen?
06.03.2007, 14:12 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

ich will doch nur informatiker werden...nicht mathematiker traurig
06.03.2007, 14:12 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du hättest nur in einen meiner früheren Beiträge schauen müssen, in dem ich dir noch den Arcus-Sinus erklärt hatte. Ich schrieb da, dass gilt

arcsin(sin(x)) = x für x aus [-pi/2,pi/2] und
sin(arcsin(x)) = x für x aus [-1,1].

Jetzt will ich deine Ergebnisse für die linke und die rechte Seite dieser Ungleichung sehen!
06.03.2007, 14:19 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

links -1 rechts 1
06.03.2007, 14:21 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pulsedrone
rechts 1

Richtig.

Zitat:
Original von pulsedrone
links -1

Falsch. Wie kommst du bloß darauf, dass sin(arcsin(x)) = -1 gilt... Liest du meine Beiträge eigentlich?
06.03.2007, 14:22 pulsedrone Auf diesen Beitrag antworten »

weil, der taschenrechner das sagt
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