Gleichmäßig stetige Fkt auf Intervall beschränkt

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßig stetige Fkt auf Intervall beschränkt
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Sei gleichmäßig stetig.
Zeigen Sie, dass f auf ]0,1[ beschränkt ist.

Mein Ansatz:

Da f in ]0,1[ gleichmäßig stetig ist, ist f in ]0,1[ auch stetig. Daraus ergibt sich: Stetige Funktionen bilden Intervalle auf Intervalle ab.

Also ergeben sich 4 Fälle:

1.Fall: es wird auf ein Intervall [a,b] mit abgebildet , dann ist f beschränkt auf ]0,1[

2.Fall: es wird auf ein offenes Intervall abgebildet: ]a,b[ . Hier weiß ich nicht mehr weiter auch für die Fälle von halboffenen Intervallen

LG

Snexx
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob die Bildmenge ein abgeschlossenes oder offenes Intervall ist, ist beim Beweis nicht wichtig.

Man könnte das z.B. mit einem Widerspruchsbeweis machen: Angenommen, wäre unbeschränkt. Dann gibt es eine Folge mit oder . (Wir nehmen obdA das erste an.)

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es eine konvergente Teilfolge ; für diese gilt dann auch ...
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