Gleichmäßig stetige Fkt auf Intervall beschränkt |
18.02.2018, 11:08 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gleichmäßig stetige Fkt auf Intervall beschränkt folgende Aufgabe: Sei gleichmäßig stetig. Zeigen Sie, dass f auf ]0,1[ beschränkt ist. Mein Ansatz: Da f in ]0,1[ gleichmäßig stetig ist, ist f in ]0,1[ auch stetig. Daraus ergibt sich: Stetige Funktionen bilden Intervalle auf Intervalle ab. Also ergeben sich 4 Fälle: 1.Fall: es wird auf ein Intervall [a,b] mit abgebildet , dann ist f beschränkt auf ]0,1[ 2.Fall: es wird auf ein offenes Intervall abgebildet: ]a,b[ . Hier weiß ich nicht mehr weiter auch für die Fälle von halboffenen Intervallen LG Snexx |
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18.02.2018, 19:08 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ob die Bildmenge ein abgeschlossenes oder offenes Intervall ist, ist beim Beweis nicht wichtig. Man könnte das z.B. mit einem Widerspruchsbeweis machen: Angenommen, wäre unbeschränkt. Dann gibt es eine Folge mit oder . (Wir nehmen obdA das erste an.) Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es eine konvergente Teilfolge ; für diese gilt dann auch ... |
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