Rechnen mit verallgemeinerter Binomische Formel

18.02.2018, 18:23	nim	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit verallgemeinerter Binomische Formel Meine Frage: Abend zusammen, die verallgemeinerte Binomische Formel ist ja definiert mit: $\begin{eqnarray} (x+y)^{n} =\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^{k} \end{eqnarray}$ folgendes war zu berechnen: $\begin{eqnarray} (x+2y)^{5} -(x-2y)^{5} \end{eqnarray}$ Erster Zwischenschritt ist anscheinend: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{5} \begin{pmatrix} 5 \\ k \end{pmatrix} x^{k} 2y^{5-k} -\sum\limits_{k=0}^{5}\begin{pmatrix} 5\\ k \end{pmatrix}x^{k} (-2y)^{5-k} \end{eqnarray}$ Warum passt das mit der Definition der verallgemeinerten Binomischen Formel überein? Meine Ideen:* Müsste es nicht: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{5} \begin{pmatrix} 5 \\ k \end{pmatrix} x^{5-k} 2y^{k} -\sum\limits_{k=0}^{5}\begin{pmatrix} 5\\ k \end{pmatrix}x^{5-k} (-2y)^{k} \end{eqnarray}$ heißen?
18.02.2018, 18:36	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \binom nk x^k y^{n-k}=\sum_{k=0}^n \binom nk x^{n-k} y^k \end{eqnarray}$ . Das siehst du, wenn du die Summen ausschreibst: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \binom nk x^k y^{n-k}=\binom n0 x^0 y^n+\binom n1 x^1 y^{n-1}+...+ \binom{n}{n-1} x^{n-1} y^1+\binom nn x^n y^0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \binom nk x^{n-k} y^k=\binom n0 x^n y^0+\binom n1 x^{n-1} y^1+...+ \binom{n}{n-1} x^1 y^{n-1}+\binom nn x^0 y^n \end{eqnarray}$ Nun sind die Binomialkoeffizienten symmetrisch: $\begin{eqnarray} \binom nk=\binom{n}{n-k} \end{eqnarray}$ (d.h. $\begin{eqnarray} \binom n0=\binom nn, \binom n1=\binom{n}{n-1} \end{eqnarray}$ usw.) Die Summanden sind also dieselben, bloß in einer anderen Reihenfolge. Alternativ könntest du ja auch einfach am Anfang die Summanden vertauschen: $\begin{eqnarray} (x+y)^n=(y+x)^n \end{eqnarray}$ Bei dir fehlen übrigens Klammern um $\begin{eqnarray} 2y \end{eqnarray}$ .
18.02.2018, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aus Symmetriegründen egal, denn es ist $\begin{eqnarray} (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^ky^{n-k}=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^{n-k}y^k \end{eqnarray}$ . Aber du muss in der 1. Summe $\begin{eqnarray} (2y)^k \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} 2y^k \end{eqnarray}$ schreiben. ... da war ich mal wieder zu spät ...
18.02.2018, 18:51	nim	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit verallgemeinerter Binomische Formel @Elvis und @10001000Nick1 vielen Dank euch! Hat mir sehr geholfen!

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