Unbestimmtes Integral

19.02.2018, 17:00

Kathreena

Unbestimmtes Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x \cdot ln(x)^3} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
Habe zuerst versucht mit Partieller Integration:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x \cdot ln(x)^3} \, dx = \int \frac{1}{x} \frac{1}{ln(x)^3} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) =\frac{1}{ln(x)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) dx = ln(x) \cdot \frac{1}{ln(x)^3} - \int ln(x) \cdot 3ln(x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx = ln(x) \cdot \frac{1}{ln(x)^3} - 3\int \cdot ln(x)^3 \cdot \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Dann nochmal Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} u = ln(x) \cdot \frac{1}{ln(x)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u - 3 \dot( ln(x) \cdot ln(x)^3 - \int ln(x) \cdot 3 ln(x)^2 \frac{1}{x} dx) \end{eqnarray*}$

Und irgendwie scheint mir das eine Endlosschleife zu sein.

Mit Substitution komm ich auhc nich weiter.

19.02.2018, 17:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
Mit Substitution komm ich auhc nich weiter.

Die auf der Hand liegende Substitution $\begin{eqnarray*} u=\ln(x) \end{eqnarray*}$ klappt prima.

EDIT: Übrigens hätte auch dein Weg über die Partielle Integration geklappt, wenn da nicht diese Rechenfehler drin wären:

Es ist nicht $\begin{eqnarray*} g'(x) \stackrel{?}{=} 3(\ln(x))^2\cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} g'(x) = -3(\ln(x))^{-4}\cdot \frac{1}{x} = -\frac{3}{x(\ln(x))^4} \end{eqnarray*}$ .

19.02.2018, 17:33

Kathreena

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Ach stimmt danke, total verhunzt die aufgabe :P.

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