Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse

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Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Nehmen wir mal die Allmenge (würde mit Russellscher Menge genauso gehen), also die Menge beliebiger Elemente. Das ist keine Menge nach ZFC, das soll eine echte Klasse sein, aber ist das nicht eigentlich falsch, weil Klassen nur Mengen als Elemente enthalten können, so dass die Allklasse nie beliebige Elemente (sondern eben nur Mengen) enthalten kann und damit gar nicht identisch zur ursprünglichen Allmenge wäre? Die Allmenge in ihrer urspürnglich naiven Konzeption wäre daher schlicht weder Menge noch Klasse, sondern überall nur unmöglich. Die Allklasse wäre eine Annäherung an die Allmenge, die als Klasse durchgeht und wenn man halt noch weiter einschränkt, dann kann man daraus auch eine Menge machen. Kann man das so sagen?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
In der Allklasse sind gerade alle Mengen als Elemente enthalten. Was befriedigt Dich daran immer noch nicht? Echte Klassen kann sie schlecht auch noch enthalten. Sonst ginge der ganze Zauber a la Russell und Konsorten doch eine Ebene hoeher wieder von vorne los.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Zitat:
Original von 005
In der Allklasse sind gerade alle Mengen als Elemente enthalten. Was befriedigt Dich daran immer noch nicht? Echte Klassen kann sie schlecht auch noch enthalten. Sonst ginge der ganze Zauber a la Russell und Konsorten doch eine Ebene hoeher wieder von vorne los.


Ganz genau! Mich stört, dass ich immer lese, dass die Russellsche Menge eine echte Klasse sei. Doch das ist sie nicht. Denn nicht die Russellsche Menge, sondern ein modifiziertes Konstrukt aus der Russellschen Menge, ist die echte Klasse. Denn die Russellsche Menge könnte sich ja nach ihrer Definition selbst enthalten, während das bei Klassen von Vornherein verboten ist, sonst hätte man da wieder die gleichen Widersprüche.

Ich will nur wissen, ob ich da richtig denke.
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Zitat:
Original von Pippen
Mich stört, dass ich immer lese, dass die Russellsche Menge eine echte Klasse sei.


Es gibt keine Russellsche Menge. Als Menge betrachtet ist das Konstrukt von Russell ein Widerspruch in sich. Erst als echte Klasse wird es geniessbar.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Zitat:
Original von 005
Es gibt keine Russellsche Menge. Als Menge betrachtet ist das Konstrukt von Russell ein Widerspruch in sich. Erst als echte Klasse wird es geniessbar.


Ich verstehe es so: Die Russellsche Menge R ist weder Menge noch Klasse. Erst eine abgewandelte Form ist eine echte Klasse, nämlich die, wo R sich nicht selbst enthalten kann.
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Was ist bei Dir R? Von welcher abgewandelten Form sprichst Du?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Zitat:
Original von 005
Was ist bei Dir R? Von welcher abgewandelten Form sprichst Du?


R := [x|x nicht Element von x}. Das ist die Russellsche Menge, wobei die Definitionsmenge von x nicht eingeschränkt ist, so dass x für beliebige Gegenstände stehen kann. Genau das ist bei der Russellschen Klasse (RK) der Fall, weil dort - wenn ich es richtig verstanden habe - festgelegt ist, dass die Definitionsmenge von x keine Klasse sein kann. Sie lautet daher, salopp formuliert RK := {x|x ist nicht Element von x & x ist keine Klasse}. Daran sieht man, dass , obwohl man in vielen Büchern immer sowas liest wie: "Die Russellsche Menge ist keine ZFC-Menge, aber dafür eine echte Klasse." Genauer müßte es heißen: "Die Russellsche Menge ist keine ZFC-Menge, aber ein modifizierte Version davon ist eine echte Klasse." Die o.g. "originale" Russellsche Menge ist einfach überall, wo man klassische Logik anwendet, falsch.
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Aber (so wie Du es definierst und interpretierst) kann es doch gar nicht geben, das ist ein Widerspruch in sich. Du kannst entweder verbieten, dass man bildet (das Aussonderungsaxiom in ZFC gibt es nicht her, so zu definieren, wie Du das anbietest), oder Du behandelst die "Unmenge" als etwas Neues, das keine Menge ist, und sich von denen in einigen Punkten unterscheidet (Mengenlehre mit Klassen).

Einen Widerspruch in sich kann man nicht aufloesen, sondern nur vermeiden.

Mit Klassen kannst Du nebenbei auch einfach anstatt schreiben, denn es ist dann eh klar, dass fuer nur Mengen hergenommen werden koennen.

Was Du allerdings nicht machen kannst, ist ernsthaft von der Russellschen Menge reden, denn die existiert eben nicht. Bestenfalls kannst Du Russellsche "Menge" schreiben.
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Nachtrag: Es gibt ausserdem das Fundierungsaxiom, nach dem keine Menge ein Element von sich selbst sein kann. Ist sowohl in ZF als auch in NBG drin.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zur Allmenge/Allklasse
Zitat:
Original von 005
Bestenfalls kannst Du Russellsche "Menge" schreiben.


Ja, richtig. Mein Punkt ist nur, dass Russellsche "Menge" (R) und Russellsche Klasse (RK) nicht das Gleiche sind. R ist weder Menge noch Klasse. Zur Klasse wird R erst, wenn man es um die Klassenaxiome ergänzt und das ist dann nicht mehr R, eben weil da Dinge unzulässig sind (Klassen als Elemente von Klassen), die in der Definition von R zulässig wären.

Warum ist das interessant? Nun es gibt ja auch keine Allmenge {x|x}, aber es gibt eine Allklasse, aber das ist ebenfalls eine kastrierte Version von {x|x}, markieren wir das durch {x|x+Klassenaxiome}. Jetzt kenne ich Theologen, die sagen: Schau her, ein allumfassender Gott ist doch möglich, denn es gibt die Allklasse. Sie merken nicht, dass die Allklasse die Totalität und Unbeschränktheit von {x|x} nicht mehr hat und gar nicht mehr wirklich alles umfasst, ihr Gott als Allklasse wäre gar nicht wirklich allumfassend.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Pierre-Simon Marquis de Laplace: "Je n'ai pas besoin de cette hypothese." (Entschuldige bitte den fehlenden accent grave, den gibt mein billiges Smartphone nicht her.)
005 Auf diesen Beitrag antworten »

@Pippen: Du drehst Dich im Kreis. Sieh endlich ein, dass die Russellsche "Menge" ein Widerspruch in sich ist. Die Russelsche Klasse aber eben nicht. Da kann es sich schlecht um das Gleiche handeln.

Zitat:
Sie merken nicht, dass die Allklasse die Totalität und Unbeschränktheit ... nicht mehr hat und gar nicht mehr wirklich alles umfasst


Ja, Du Witzbold. Denn dieses allumfassende Gebilde ist doch ebenfalls ein Widerspruch in sich, wenn es wieder etwas von der Art des Umfassten sein soll. Eine Allmenge kann es nicht geben, eine Allklasse schon. Gerade deshalb, weil sie sich nicht auch noch selber umfasst. Was das fuer Theologen bedeutet, weiss ich nicht. Spielt fuer die Mathematik aber keine Rolle. Vielleicht, dass Gott ausserhalb der Welt anzusiedeln ist und deshalb nicht mit ihr in einen Topf geschmissen werden kann? Er ist nicht Teil seiner eigenen Schoepfung, er steht drueber.
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