Wendepunkt Extremwert

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20.02.2018, 08:48	DieDivaDesDienstags	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkt Extremwert Meine Frage: Gegeben sei die Funktionsschar: $\begin{eqnarray} f(x)=tx^{3}+(t^{2}+1)x^{2}+x \end{eqnarray}$ Wie muss der Parameter t gewählt werden, damit der Abstand des Wendepunkts zum Ursprung so klein wie möglich ist? Meine Ideen: Der Abstand ist: $\begin{eqnarray} d=\sqrt{x^{2} + y^{2} } \end{eqnarray}$ Und den WP der Schar habe ich auch bestimmt mit den Koordinaten: $\begin{eqnarray} x=\frac{-(t^{2}+1) }{3t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\frac{2(t^{2}+1)^{3}-9t(t^{2}+1)} {27t^{2} } \end{eqnarray}$ Theoretisch müsste ich mein x und y ja jetzt in die Gleichung für d Einsetzen und mittels Differenziation das Minimum der Zielfunktion bestimmen. Gibt es da noch einfachere Möglichkeit, weil das wird glaube ich nahezu unmöglich, dass ohne Rechenfehler zu absolvieren
20.02.2018, 09:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sieht einigermaßen eklig aus. Als Vereinfachung fällt mir aber auf Anhieb nur ein, dass du statt $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} d^2=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ minimieren kannst, dann bleibt dir dort zumindest die Wurzel erspart.
20.02.2018, 09:16	DieDivaDesDienstags	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Unterricht hat man einfach mit d=x weitergerechnet und dann die x Koordinate eingesetzt, was für mich aber überhaupt keinen Sinn macht. Oder ist die y-Koordinate aus irgendeinem Grund so nah an 0, das man das so vereinfachen kann
20.02.2018, 09:26	DieDivaDesDienstags	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das jetzt mal in nen online-ableitungsrechner eingegeben und als Ergebnis ne Funktion mit t^12 bis t^1 ... naja egal ... auf jeden Fall sagt der gezeichnete Graph das t rund t=-0,8188 und t2=1,0602 ist ... sollte stimmen, aber die Vereinfachung habe ich noch nicht verstanden, weil da kommt man auf t=0,6666 und das liegt ja schon deutlich entfernt von dem errechneten t
20.02.2018, 09:27	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann aber die Wendestelle. Steht in der Aufgabe wirklich Punkt? Dann wäre eine Gleichung zehnten Grades zu lösen, was vielleicht tatsächlich gefordert ist, aber eklig ist es in der Tat. Viele Grüße Steffen
20.02.2018, 09:35	DieDivaDesDienstags	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, hab was falsch gemacht: t1=-0,8455 und t2=0,7476
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20.02.2018, 09:40	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Deine ersten Nullstellen waren schon richtig.
20.02.2018, 09:51	DieDivaDesDienstags	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, habe ich auch gerade gemerkt Ich habe die Vereinfachung zwar immer noch nicht verstanden, die im Unterricht gemacht wurde, aber komplett abwegig oder falsch scheint sie nicht zu sein... (wahrscheinlich weil der Betrag von y sehr klein ist) habe das jetzt durchgerechnet und komm auf ein sinnvolles Ergebnis mit x=-0,67 und y=-0,04 ... das liegt ja dann sehr nah an den x=-2/3 aus dem Unterricht ... Danke für eure Hilfe!
20.02.2018, 11:47	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab spaßeshalber mal die vereinfachte Variante nachgerechnet und komme über eine Gleichung sechsten Grades auf t=0,791 und nicht t=0,666. Das ergibt den Wendepunkt(-0,685\|-0,176), also einen Abstand von 0,707 vom Ursprung. Der tatsächlich kleinste Abstand ergibt sich aber, wie von Dir berechnet, bei t=1,06 mit WP(-0,668\|-0,037), somit einem Abstand von 0,669. Mit dem angeblichen t=0,666 ergibt sich WP(-0,723\|-0,220) und ein Abstand von 0,755. Das ist dann doch ein ziemlicher Unterschied, daher bin ich nicht ganz sicher, was ich von dieser Aufgabe halten soll. Viele Grüße Steffen
20.02.2018, 11:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin sicher du hattest Recht Steffen. Die Schullösung deckt sich damit, dass man den Abstand von der Wendestelle ( $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Koordinate des Wendepunks) zum Ursprung berechnen soll. Dann ergibt die Abstandsfunktion Sinn, es ist einfach zu berechnen und es kommt auch die Musterlösung raus. Entweder Dienstag oder der Lehrer haben die Begriffe Wendepunkt unsauber benutzt bei der Formulierung der Aufgabe. Edit: Jetzt hatte ich selbst Wendepunkt und Wendestelle falsch verwendet
20.02.2018, 12:47	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wo Du sagst, dass die zweite Variante einfach zu berechnen ist, sehe ich erst, dass ich hier mit der Gleichung sechsten Grades natürlich falsch lag. Die Lösung bekommt man dann tatsächlich mehr oder weniger im Kopf hin. Hier kommt in der Tat ein WP (-0,666\|-0,074) und ein Abstand heraus, der mit 0,670769 erstaunlich nah am "richtigen" 0,668793 liegt. Aber dass man hier mit dem reinen Horizontalabstand arbeiten darf, kann man nicht vorher sehen. Da müsste dann in der Aufgabe drauf hingewiesen werden, oder eben doch die Formulierung "Wendestelle" verwendet werden.

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