Endliche Körper konstruieren

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CherryMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Körper konstruieren
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich bin gerade dabei etwas über endliche Körper und Polynomringe zu lernen. Was ich aber allerdings nicht verstehe ist, wie endliche Körper konstruiert werden. Ich weiß schonmal, dass Körper mit einer nicht primen Anzahl an Elementen mit Hilfe von Polynomen konstruiert werden können.

K[x] ist demnach eine Menge von Polynomen über dem Ring K in der Variable x. K ist demnach genau dann ein Körper, wenn das Polynom p von K keine Nullstellen in K besitzt.

Nun wie konstruiere ich einen Körper mit 4 Elementen?
- Aus diversen Quellen weiß ich bereits, dass es sich hierbei um F2 handelt vom Grad 2 -> 2^2 = 4
-> Demnach sind die Elemente F2[x] vom Grad 2: 0,1, x, x+1
-> Wie komm ich hierbei auf x, x+1?

Wie konstruiere ich einen Körper mit 8 Elementen?

Meine Ideen:
Nach diversen Quellen lässt sich ein Körper so konstruieren:

Grad 2: a_2x^2+a_1x+a_0
Grad 3: a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

Doch wie komm ich durch oben genannte Formel zu folgenden Körperelementen:
Grad(2) -> F_2[x] = 0,1,x,x+1
Grad(3) -> F_2[x] = 0,1,x,x+1,x^2,1+x^2,x+x^2,1+x+x^2
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
K[x] ist demnach eine Menge von Polynomen über dem Ring K in der Variable x. K ist demnach genau dann ein Körper, wenn das Polynom p von K keine Nullstellen in K besitzt

Nein.
K[x] ist der Polynomring über dem Körper K.
Der zweite ist unverständlich: Wo kommt p her? Und wieso is bei dir K gleichzeitig ein Polynmring und ein Körper?

Du brauchst Quotientenringe von Polynomringen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man konstruiert über einem Körper eine algebraische Erweiterung vom Grad , indem man den Polynomring nach einem irreduziblen Polynom faktorisiert, also . ist dann ein -Vektorraum der -Dimension , eine Vektorraum-Basis ist . Die Multiplikation in ergibt sich dadurch, dass und höhere Potenzen modulo reduziert werden können.

Beispiel
, dann ist , also
, dann ist , also

In beiden Fällen genügt es für die Irreduzibilität von , dass keine Nullstelle in hat. Für Grad 4 genügt das nicht mehr, denn hat keine Nullstelle, ist aber reduzibel. Also hat der Restklassenring Nullteiler, ist kein Körper, ist mithin von verschieden.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Körper konstruieren
Moin moin!

Zitat:
Original von CherryMathe
K[x] ist demnach eine Menge von Polynomen über dem Ring K in der Variable x. K ist demnach genau dann ein Körper, wenn das Polynom p von K keine Nullstellen in K besitzt.


Das stimmt so leider nicht ganz. Sei nämlich beispielsweise ein Körper, in dem -1 kein Quadrat ist (etwa oder ). Dann ist äquivalent das Polynom dort nullstellenfrei. Trotzdem ist aber kein Körper, da das Polynom reduzibel ist, wie man anhand von unmittelbar sieht.

Richtig ist es so:

(1) Der Ring ist genau dann selbst wieder ein Körper, wenn ein maximales Ideal ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn p irreduzibel ist.

(2) Falls , so ist p genau dann irreduzibel, wenn p keine Nullstelle in hat. Für ist diese Aussage im Allgemeinen falsch, wie mein obiges Beispiel zeigt.

Aussage (1) wird nun benutzt, um endliche Körper zu konstruieren: Habe ich einen endlichen Körper gegeben und möchte daraus einen endlichen Körper basteln, so muss ich ein irreduzibles (!) Polynom p des Grades m finden; dann ist ein endlicher Körper mit m Elementen.

Für dich heißt das konkret, dass du irreduzible Polynome aufstöbern musst mit , und dann die entsprechenden modulo-Ringe die gesuchten Körper sind.
Offenbar ist es keine Beschränkung der Allgemeinheit, wenn man sich dabei auf normierte Polynome, d.h. mit Leitkoeffizient 1 beschränkt. (schon gar nicht über Augenzwinkern )

Ganz konkret kann man hierzu folgendermaßen vorgehen: Die möglichen (normierten) Linearfaktoren über sind X und X+1. Damit kann man sich ganz leicht alle reduziblen Polynome des Grades 2 bzw. 3 aufschreiben:
- Beim Grad 2 sind es X², X(X+1) = X²+X, (X+1)² = X²+1. Es verbleibt ein eindeutig bestimmtes Polynom, das in dieser Aufzählung nicht vorgekommen ist; mithin ein eindeutig bestimmtes irreduzibles normiertes Polynom des Grades 2.
- Beim Grad 3 sind es X³, ____ X²(X+1) = X³+X², _____ X(X+1)² = X³+X, und (X+1)³ = X³+X²+X+1. Es verbleiben zwei Polynome, die in dieser Aufzählung nicht vorgekommen sind; mithin zwei irreduzible normierte Polynome des Grades 3.

Schließlich noch zu deiner Frage: Wie konkret kommt man nun zu den Körperelementen? Nun, da steckt gar nicht so viel hinter, wie du vielleicht denkst. Da ja gilt

,

gilt offenbar auch

.

So weit, so gut.

Nun haben wir ja in Restklassenringen die Gleichheitsregel: . Wenn du also ein beliebiges Polynom vorliegen hast, gehst du einfach her und machst Polynomdivision mit Rest durch p: Dies liefert
und aber vor allem: , also .
Damit kann man jedes Körperelement (bzw. allgemeiner: jedes Ringelement, denn wir mussten hier gar keine Irreduzibilität von p voraussetzen) durch ein Polynom kleineren Grades als p repräsentieren. Umgekehrt überlegt man sich leicht, dass zwei unterschiedliche Polynome kleineren Grades als p auch unterschiedliche Restklassen repräsentieren müssen.

Sagen wir zB mal, du möchtest einen Körper mit 81 Elementen konstruieren. Durch obiges Argument weißt du genau, dass die (unterschiedlichen) Elemente dieses Körpers sein werden:

.
Wenn du das systematisch durchgehst, ergeben sich genau Polynome entsprechend der von dir genannten Struktur.

Für dein Beispiel gilt entsprechend
.
Wieder gilt: Wenn du das systematisch durchgehst, erhältst du genau die Polynome, die du hingeschrieben hattest.

LG
sibelius84
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