Differenzierbarkeit Nachfrage

20.02.2018, 14:03	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit Nachfrage Hallo zusammen, folgende Frage: Darf ich bei einer Fallunterscheidung den Limes in eine zweizeilige Fallunterscheidung ziehen? Konkreter: $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R , f(x)= \begin{cases}1-(2-x)^{2} \ \ , falls \ \ x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\\1 \ \ , falls \ \ x\in \mathbb Q\ \ \end{cases} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass f in x=2 differenzierbar ist. Meine Lösung: $\begin{eqnarray} f'(2)=\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \begin{cases}\lim_{h \to 0} \frac{1-(2-(2+h)^{2}-1)}{h} \ \ , falls \ \ 2+h\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\\ \lim_{h \to 0} \frac{1-1}{h} \ \ , falls \ \ 2+h\in \mathbb Q\ \ \end{cases} = \begin{cases}\lim_{h \to 0} h \ \ , falls \ \ 2+h\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\\ \lim_{h \to 0} 0 \ \ , falls \ \ 2+h\in \mathbb Q\ \ \end{cases} = \begin{cases}0 \ \ , falls \ \ 2+h\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\\ 0 \ \ , falls \ \ 2+h\in \mathbb Q\ \ \end{cases} \end{eqnarray}$ Also existiert der Grenzwert und somit ist f in x=2 differenzierbar.
20.02.2018, 14:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
kleiner Rechenfehler Es ist $\begin{eqnarray} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{1-(2-(2+h))^2-1}{h} = \frac{-h^2}{h} = -h \end{eqnarray}$ . Ändert letztlich nichts am Endergebnis, denn $\begin{eqnarray} -h \end{eqnarray}$ konvergiert genau wie $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auch gegen Null, aber Ordnung muss sein.
20.02.2018, 14:13	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kleiner Rechenfehler Ahja - nicht vergessen Aber so wie ich es formal aufgeschrieben habe, dürfte ich das auch in einer Klausur schreiben ? Also muss man die Fallunterscheidung machen und darf diese so durchführen ? LG
20.02.2018, 14:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, das geht so schon in Ordnung.
20.02.2018, 14:26	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann bedanke ich mich
20.02.2018, 14:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kleiner Rechenfehler Sehr rigoros könnte man auch abschätzen $\begin{eqnarray} \left \| \frac { f(2+h) - f(2) } h - 0 \right\| \leq \left\|\frac { 1 - (2-(2+h))^2 - 1} h\right\| \end{eqnarray}$ Da der rechte Term gegen 0 konvergiert, ist $\begin{eqnarray} f'(2) = 0 \end{eqnarray}$ .
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