Differenzierbarkeit

20.02.2018, 14:35

Snexx_Math

Differenzierbarkeit

Noch eine kleine Nachfrage bezüglich des Themas:

Differenzierbarkeit Nachfrage

Wenn man nun aber :

$\begin{eqnarray*} f:[0,1]\rightarrow \mathbb R \ \ , \ \ f(x):=\begin{cases} x\cdot cos(\frac{1}{x}) \ , \ falls \ \ x\neq 0)\\0 \ , \ falls \ \ x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

hat. Und jetzt prüfen soll, ob x differenzierbar ist in x=0.

Dann näher ich mich ja der Null mit Werten ungleich Null an. Dann müsste ich ja den obigen Fall nehmen (welcher als Resultat keinen Grenzwert hat ... also f nicht diff'bar in x=0). Aber warum muss man jetzt nicht noch den Fall x=0 untersuchen ? Weil man sich der 0 für x=0 nicht annähern kann ?

LG Snexx

20.02.2018, 19:01

HAL 9000

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Du sprichst in Rätseln. Vielleicht fängst du mal damit an zu erklären, was du hiermit

Zitat:

Original von Snexx_Math
Dann näher ich mich ja der Null mit Werten ungleich Null an.

meinst - vielleicht den Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{f(h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$ , oder wie, oder was??? Erstaunt1

21.02.2018, 08:00

Lithiesque

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Differenzierbarkeit in 0 bedeutet Existenz des Grenzwerts

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \end{eqnarray*}$ ,

und Existenz dieses Grenzwerts ist per Definition gleichbedeutend mit der Existenz eines $\begin{eqnarray*} L\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, derart, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < |x| < \delta \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{f(x) - f(0)}{x} - L \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt.

Insbesondere muss die Ungleichung nicht für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gelten (ist auch sinnlos, dort ist der Nenner nicht definiert).

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