Beziehung von Landau Symbolen

21.02.2018, 12:47	BobAndrews	Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehung von Landau Symbolen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe gerade eine Aufgabe zu Landau Symbolen gerechnet. Die eigentliche Aufgabe habe ich auch gelöst, allerdings kam mir dabei eine andere Frage. Die Aufgabe war: Es seien [latex] (a_n)_{n\in \mathbb N } [\latex] und [latex] (b_n)_{n\in \mathbb N } [\latex] zwei reelle Zahlenfolgen mit [latex] b_n = 0 [\latex] für höchstens endliche viele [latex] n\in \mathbb N [\latex]. Zeigen Sie [latex] a_n = o(b_n) \Rightarrow a_n = O(b_n)[\latex] und [latex] b_n \neq O(a_n)[\latex]. Wie gesagt, die eigentliche Aufgabe habe ich gelöst, aber seitdem frage ich mich ob auch die Rückrichtung gilt. Bisher habe ich kein Gegenbeispiel konstruieren können, beweisen konnte ich es leider auch nicht. Meine Ideen: Wie gesagt, die eigentliche Aufgabe habe ich gelöst, allerdings suche ich ein Gegenbeispiel für die Rückrichtung.
21.02.2018, 13:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beziehung von Landau Symbolen Du fragst, ob $\begin{eqnarray} b_n \not\in O(a_n) \implies a_n \in o(b_n) \end{eqnarray}$ gilt? Tut es. Aus $\begin{eqnarray} b_n \neq O(a_n) \end{eqnarray}$ folgt, es gibt eine folge $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_n \to \infty \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} b_n > c_n a_n \end{eqnarray}$ . Sobald man das hat, ist der Rest umstellen. Edit: Oder man argumentiert direkt mit einem Widerspruchbeweis. Wenn $\begin{eqnarray} a_n \not\in o(b_n) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \liminf_{n\to\infty} \frac { \|a_n\| } {\|b_n\|} > 0 \end{eqnarray}$ .

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