Gleichmäßige Stetigkeit zeigen

21.02.2018, 15:52

rickyphlo

Gleichmäßige Stetigkeit zeigen

Hallo,

ich möchte Hilfe mit einer Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: (1,\infty) \rightarrow \mathbb R, x \rightarrow ln(x-1) \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass f nicht gleichmäßig stetig auf seinem Definitionsbereich ist.
b) Zeigen Sie, dass f für jedes a>1 auf $\begin{eqnarray*} [a,\infty) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig ist.

Meine Idee
a) Ich habe so versucht: sei x,y in Definitonsbereich und x=2 und y=3 und sei epislon = 1. Dann habe ich mit der Definition eingesetzt aber leider kam nichts hilfreiches raus.
b) ich habe die b noch nicht versucht. Ich glaube man braucht die a, um es leichter zu beweisen.

VG,
ricky

21.02.2018, 17:02

sibelius84

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Hallo ricky,

Zu a): Die Idee mit "epsilon:=1" ist gut. Eine Funktion heißt ja per definitionem gleichmäßig stetig, wenn

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x,y\in\mathbb D_f:\,\lvert x-y \rvert < \delta \Longrightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Um zu zeigen, dass eine Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, musst du also die Negation der obigen Aussage zeigen, die da lautet:

$\begin{eqnarray*} \exists\varepsilon_0>0 \; \forall \delta > 0 \; \exists x,y\in\mathbb D_f:\,\lvert x-y \rvert < \delta \text{ und }\lvert f(x)-f(y)\rvert\geq\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

Nach deiner Setzung bleibt also noch zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall \delta > 0 \; \exists x,y\in\mathbb D_f:\,\lvert x-y \rvert < \delta \text{ und }\lvert f(x)-f(y)\rvert\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Hilft dir das evtl schon weiter, so dass du noch mal ansetzen kannst?

Zu b): Die baut nicht auf der a) auf. Ich würde es an deiner Stelle mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung versuchen.

LG
sibelius84

21.02.2018, 19:27

rickyphlo

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Hallo sibelius84,

dankeschön für die Erklärung. Ist dann dann egal was delta ist? Für x=2 und y=2 gilt das nicht, weil die Werte nicht weit entfernt voneinander sind aber wenn ich z.b x=2 und y= 20 benutzt, dann komme ich raus, dass $\begin{eqnarray*} |-18| < \delta, \ |-ln(19)|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Ist das dann richtig? Es sieht nicht schön aus.

21.02.2018, 19:54

HAL 9000

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Vergiss die Idee, von irgendwelchen festen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ auszugehen, das ist nicht zielführend. Nochmal

Zitat:

Original von sibelius84
$\begin{eqnarray*} \forall \delta > 0 \; \exists x,y\in\mathbb D_f:\,\lvert x-y \rvert < \delta \text{ und }\lvert f(x)-f(y)\rvert\geq 1 \end{eqnarray*}$

genau erläutert: Du musst zu beliebig (!) vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ Werte $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ finden, die einerseits einen Abstand kleiner $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ haben, aber andererseits einen Funktionswertabstand $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Das klappt nur, wenn man einen der beiden Werte (o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ) "ganz nahe" von rechts an die 1 heranrückt!

Ein möglicher Ansatz wäre $\begin{eqnarray*} y=1+c\delta,x=1+c\delta+\frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ mit einer möglichst von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ unabhängigen Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Ob das so überhaupt klappt, bzw. wie groß diese Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu wählen ist, werden wir anhand der zu erfüllenden Bedingungen sehen:

1) Zunächst mal ist bei dieser Wahl $\begin{eqnarray*} x-y = \frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h., Bedingung $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ ist schon mal erfüllt (keine Kunst, so ist es ja extra gebastelt worden).

2) Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)-f(y) = \ln\left(c\delta+\frac{\delta}{2}\right) - \ln\left(c\delta\right) \stackrel{!}{=} \ln\left(1+\frac{1}{2c}\right) \end{eqnarray*}$ .

Wunderbar, (Teil-)Ziel erreicht: Die Funktionswertdifferenz ist von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ unabhängig! Jetzt muss $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nur noch so gewählt werden, dass $\begin{eqnarray*} \ln\left(1+\frac{1}{2c}\right)>1 \end{eqnarray*}$ gilt, das klappt z.B. für $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ wegen dann $\begin{eqnarray*} \ln(3)>1 \end{eqnarray*}$ .

21.02.2018, 21:33

rickyphlo

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Ahhh! Das war sehr hilfreich von euch beiden. Manchmal muss ich es einmal ausführlich sehen und dann kann ich es nachvollziehen. Aber ich habe jetzt eine Frage:

könnte das auch gut klappen, wenn die Werte x und y weiter links sind? Da die Steigung sehr groß ist, können wir dann haben, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

21.02.2018, 22:49

HAL 9000

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Na klar, noch weiter links geht immer ... aber rechts der 1 muss man schon bleiben, denn der Definitionsbereich darf natürlich nicht verlassen werden.

22.02.2018, 12:01

rickyphlo

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Ach ja. Dankeschön!

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