Lineare Abbildung, Injektiv, Surjektiv, Kern, Bild

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Baum1 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, Injektiv, Surjektiv, Kern, Bild
Liebe Freunde des Forums,
ich habe in der Linearen Algebra die Begriffe der Injektivität und Surjektivität bzgl. linearer Abbildungen kennengelernt (die ich bereits aus Analysis für Abbildungen kannte), aber leider hat der Prof das bei allen Beispielen immer sehr "intuitiv" gelöst und bewiesen, und ich würde nun gerne endlich kennenlernen, wie man das richtig berechnet. Also ich meine er hat dann sowas gesagt wie:
- die Abbildung ist surjektiv, weil sie R^2 als Zielmenge hat
- die Abbildung ist injektiv, weil f(1, -1) = f(1, 1)

Also nichts wirklich mit Rechnen, sondern vielmehr "sehen".

Dazu habe ich mir ein paar Gedanken gemacht:
  • Eine Lin. Abb. ist surjektiv, wenn sie die gesamte Zielmenge abbilden kann
  • Eine Lin. Abb. ist injektiv, wenn ihr Kern nur der Nullvektor ist
  • Das Bild einer Abbildung sind alle Vektoren aus der Zielmenge, die abgebildet werden können
  • Der Kern einer Lin Abbildung sind alle Vektoren die auf den Nullvektor abbilden



An dieser Stelle möchte ich gerne anhand eines Beispiels (gerne sowohl als Abbildung, als auch als Matrix! würde das gerne üben) erklärt bekommen, wie ich anhand einer Abbildung den Kern und das Bild berechnen kann.

Liebe Grüße und Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baum1
Also nichts wirklich mit Rechnen, sondern vielmehr "sehen".

Zum "sehen" gehört auch richtiges Wiedergeben der Beispiele:

Zitat:
Original von Baum1 (korrigiert)
- die Abbildung ist nicht injektiv, weil f(1, -1) = f(1, 1)
 
 
Baum1 Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast Du absolut recht.
Ich hab den Beitrag insgesamt dreimal eingetippt, weil die Seite sich zweimal neugeladen hat (wieso auch immer?).

Beim dritten mal entstehen die Fehler. Augenzwinkern
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