Zeigen, dass Funktion Lösungen besitzt

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mocky Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Funktion Lösungen besitzt
Hallo,

ist beim Raten der bester Weg zu zeigen, dass eine Funktion Lösungen besitzt?

Also die Aufgabe ist:

Zeige, dass die Gleichung

in genau zwei Lösungen besitzt.

Ich habe das so gemacht:



Dann für f(0) eingesetzt ergibt sich f > 0
Dann für f(10) eingesetzt ergibt sich f < 0
Aber ein Mittelwert dazwischen habe ich momentan Schwierigkeiten zu finden.

Dann per Zwischenwertsatz und auch mit der Tatsache, dass x und e^x beide monoton steigende Funktionen sind, gibt keine keine weiteren Lösungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mocky
und auch mit der Tatsache, dass x und e^x beide monoton steigende Funktionen sind, gibt keine keine weiteren Lösungen.

Falsche Schlussfolgerung, denn ist keine auf ganz monotone Funktion. unglücklich


Aber zu betrachten ist eine gute Idee. An der Betrachtung der Ableitung kann man das Monotonieverhalten von untersuchen:

hat die Nullstelle , und es ist offenbar für sowie für .

Das bedeutet, dass im Intervall streng monoton wachsend ist, und danach dann auf streng monoton fallend. Damit kann es in beiden Intervallen jeweils maximal eine Nullstelle von geben kann. Dass es dann jeweils auch wirklich genau eine Nullstelle ist, sagt der Zwischenwertsatz in Verbindung mit Funktionswerten an geeignet gewählten Stellen.

sowie hast du schon festgestellt, also liegt die eine positive Nullstelle in .

Bleibt noch die negative Nullstelle: Die liegt wegen auf jeden Fall in .

mocky Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal 9000,

vielen Dank für die Rückmeldung. Ist das der einzige Weg zu zeigen (mit Differentialrechnung), dass es zwei Lösungen gibt? Ich finde den "Raten"-Weg ist ziemlich nicht machbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Raten"-Weg??? Wo wird denn hier geraten? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL Bei dir nirgends, aber bei mockys Vorschlag hat er paar Funktionswerte berechnet, um Vorzeichen zu bestimmen und dann den Zwischenwertsatz zu benutzen. Schätze das Raten bezieht sich darauf.
mocky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
@HAL Bei dir nirgends, aber bei mockys Vorschlag hat er paar Funktionswerte berechnet, um Vorzeichen zu bestimmen und dann den Zwischenwertsatz zu benutzen. Schätze das Raten bezieht sich darauf.


Ja genau. Oder ist es zu kompliziert mit dem Raten zu machen?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Raten ist nie eine gute Idee. Wenn du dir das Verhalten für und anschaust, bekommst du mit einem positiven Funktionswert bereits alles was du brauchst um die Existenz zweier Nullstellen zu sichern.

Aber, dass es nicht noch mehr gibt, wird ohne Monotonieverhalten extrem schwer. Und Monotonieverhalten ohne Differentialrechnung ist sehr unangenehm.
mocky Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut zu wissen. Differentialrechnung war noch nicht eingeführt so es wundert mich, wieso wir diese Aufgaben in der Vorlesung hatten. Dankeschön für die Beiträge und die Auskunft. Sie waren sehr hilfreich.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktion Lösungen besitzt
Wenn wir gerade schon beim Thema Auskunft sind:

Zitat:
Original von mocky
ist beim Raten der bester Weg zu zeigen, dass eine Funktion Lösungen besitzt?


Eine Funktion kann keine Lösungen besitzen. Eine Gleichung kann Lösungen besitzen.
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