Zeigen, dass Funktion Lösungen besitzt

21.02.2018, 16:08

mocky

Zeigen, dass Funktion Lösungen besitzt

Hallo,

ist beim Raten der bester Weg zu zeigen, dass eine Funktion Lösungen besitzt?

Also die Aufgabe ist:

Zeige, dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} e^x = x + \pi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ genau zwei Lösungen besitzt.

Ich habe das so gemacht:

$\begin{eqnarray*} f := x + \pi - e^x \end{eqnarray*}$

Dann für f(0) eingesetzt ergibt sich f > 0
Dann für f(10) eingesetzt ergibt sich f < 0
Aber ein Mittelwert dazwischen habe ich momentan Schwierigkeiten zu finden.

Dann per Zwischenwertsatz und auch mit der Tatsache, dass x und e^x beide monoton steigende Funktionen sind, gibt keine keine weiteren Lösungen.

21.02.2018, 16:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von mocky
und auch mit der Tatsache, dass x und e^x beide monoton steigende Funktionen sind, gibt keine keine weiteren Lösungen.

Falsche Schlussfolgerung, denn $\begin{eqnarray*} x-e^x \end{eqnarray*}$ ist keine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ monotone Funktion. unglücklich

Aber $\begin{eqnarray*} f(x) := x+\pi-e^x \end{eqnarray*}$ zu betrachten ist eine gute Idee. An der Betrachtung der Ableitung kann man das Monotonieverhalten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1-e^x \end{eqnarray*}$ hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ , und es ist offenbar $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist, und danach dann auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend. Damit kann es in beiden Intervallen jeweils maximal eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geben kann. Dass es dann jeweils auch wirklich genau eine Nullstelle ist, sagt der Zwischenwertsatz in Verbindung mit Funktionswerten an geeignet gewählten Stellen.

$\begin{eqnarray*} f(0)=\pi-1>0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f(10)=10+\pi-e^{10}<0 \end{eqnarray*}$ hast du schon festgestellt, also liegt die eine positive Nullstelle in $\begin{eqnarray*} (0,10) \end{eqnarray*}$ .

Bleibt noch die negative Nullstelle: Die liegt wegen $\begin{eqnarray*} f(-4)=-4+\pi-e^{-4}<0 \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall in $\begin{eqnarray*} (-4,0) \end{eqnarray*}$ .

21.02.2018, 19:16

mocky

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Hallo Hal 9000,

vielen Dank für die Rückmeldung. Ist das der einzige Weg zu zeigen (mit Differentialrechnung), dass es zwei Lösungen gibt? Ich finde den "Raten"-Weg ist ziemlich nicht machbar.

21.02.2018, 19:39

HAL 9000

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"Raten"-Weg??? Wo wird denn hier geraten? verwirrt

21.02.2018, 19:53

IfindU

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@HAL Bei dir nirgends, aber bei mockys Vorschlag hat er paar Funktionswerte berechnet, um Vorzeichen zu bestimmen und dann den Zwischenwertsatz zu benutzen. Schätze das Raten bezieht sich darauf.

21.02.2018, 21:40

mocky

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Zitat:

Original von IfindU
@HAL Bei dir nirgends, aber bei mockys Vorschlag hat er paar Funktionswerte berechnet, um Vorzeichen zu bestimmen und dann den Zwischenwertsatz zu benutzen. Schätze das Raten bezieht sich darauf.

Ja genau. Oder ist es zu kompliziert mit dem Raten zu machen?

21.02.2018, 22:01

IfindU

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Raten ist nie eine gute Idee. Wenn du dir das Verhalten für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\to-\infty \end{eqnarray*}$ anschaust, bekommst du mit einem positiven Funktionswert bereits alles was du brauchst um die Existenz zweier Nullstellen zu sichern.

Aber, dass es nicht noch mehr gibt, wird ohne Monotonieverhalten extrem schwer. Und Monotonieverhalten ohne Differentialrechnung ist sehr unangenehm.

22.02.2018, 12:03

mocky

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Ok gut zu wissen. Differentialrechnung war noch nicht eingeführt so es wundert mich, wieso wir diese Aufgaben in der Vorlesung hatten. Dankeschön für die Beiträge und die Auskunft. Sie waren sehr hilfreich.

23.02.2018, 08:17

system-agent

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RE: Zeigen, dass Funktion Lösungen besitzt
Wenn wir gerade schon beim Thema Auskunft sind:

Zitat:

Original von mocky
ist beim Raten der bester Weg zu zeigen, dass eine Funktion Lösungen besitzt?

Eine Funktion kann keine Lösungen besitzen. Eine Gleichung kann Lösungen besitzen.

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