Grenzwert der n-ten Wurzel aus n^n

21.02.2018, 20:14

Hansi0815

Grenzwert der n-ten Wurzel aus n^n

Meine Frage:
Hallo,

ich bräuchte euren Rat zum "Grenzwert" von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^n} \end{eqnarray*}$
Der existiert wie man weiß nicht. Warum, jedoch?

Meine Ideen:
Man kann ja ganz einfach 2 n's kürzen und wir erhalten n und das strebt nach unendlich, klar.

Warum ist dieser Schritt falsch: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^n} \end{eqnarray*}$ --> Ich teile nun in n Wurzeln der Form auf: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ .Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ .... (n mal). Die Grenzwerte der einzelnen Faktoren sind 1, für n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Also rechne ich für n --> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ 1 * 1 *1... =1. Wo liegt hier der Fehler?

Danke

21.02.2018, 20:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil diese Regel "Grenzwert des Produkts = Produkt der Grenzwerte" nur für eine feste (!) endliche Anzahl von Faktoren gilt. Du hast aber Faktorenanzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und diese Anzahl wächst im Verlauf des Grenzübergangs unbeschränkt. unglücklich

21.02.2018, 20:57

Hansi0815

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert der n-ten Wurzel aus n^n
Vielen Dank für deine Antwort. n ist durch den Grenzübergang unbeschränkt und insbesondere auch nicht fest. Was dann ein Widerspruch ergibt.

Die Aussage "Grenzwert des Produkts = Produkt der Grenzwerte" gilt nur für feste endliche n. Den Beweis wird man sicher irgendwo finden.

Dann könnte man die Regel bei: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^(2017)} \end{eqnarray*}$ anwenden, da wir dort 2017 Faktoren haben.

Bei $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2017^n} \end{eqnarray*}$ dann wiederum nicht, weil wir keine feste Anzahl von Faktoren haben?

21.02.2018, 21:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hansi0815
Die Aussage "Grenzwert des Produkts = Produkt der Grenzwerte" gilt nur für feste endliche n. Den Beweis wird man sicher irgendwo finden.

Für Anzahl 2 sollte das bekannt sein. Der "Rest" kann per Vollständiger Induktion gezeigt werden.

Zitat:

Original von Hansi0815
Dann könnte man die Regel bei: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^{2017}} \end{eqnarray*}$ anwenden, da wir dort 2017 Faktoren haben.

Bei $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2017^n} \end{eqnarray*}$ dann wiederum nicht, weil wir keine feste Anzahl von Faktoren haben?

So ist es, und zwar in beiden Fällen.

21.02.2018, 21:05

Hansi0815

Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings ist das bekannt!

Vielen Dank und einen schönen Abend noch.

Beste Grüße
Hansi

Wink

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert der n-ten Wurzel aus n^n

Verwandte Themen