Partialbruchzerlegung

22.02.2018, 13:09

EvD

Partialbruchzerlegung

Hallo zusammen

Ich habe irgendwie keine Problemchen mit der Partialbruchzerlegung.

Ich habe Folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 5)} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich da die Partialbruchzerlegung angewand:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 5)}=\frac{a*(2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 5)}+\frac{b*(2 k + 5)}{(2 k + 1) (2 k + 5)} \end{eqnarray*}$

Dann Berechne ich a und b:

$\begin{eqnarray*} 1= a*(2 k + 1)+b*(2 k + 5)=(a+b)*2k+a+5b \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} a+b=0 \newline a+5b=1 \newline \newline b=-a \newline a-5a=1 \newline \newline a=-1/4 \newline b=1/4 \end{eqnarray*}$

Also müsste dann folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 5)}=\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{-\frac{1}{4}}{(2 k + 1)} + \frac {\frac{1}{4}}{(2 k + 5)} \end{eqnarray*}$

Tut es aber nicht, das erste ergibt laut wolfram $\begin{eqnarray*} \frac{3}{35} \end{eqnarray*}$ bei dem zweiten $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{35} \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler?

Freue mich auf eure Antwort smile

Grüße EvD

22.02.2018, 13:16

IfindU

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RE: Partialbruchzerlegung
Du hast beim einsetzen $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ durcheinander gebracht. Sonst stimmt es und Wolfram Alpha stimmt auch zu Alpha.

22.02.2018, 13:37

EvD

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RE: Partialbruchzerlegung
Aaaaah ... stimmt danke smile

Als Nächstes soll das ganze ausrechnen ...

wie würdet ihr da vorgehen?

Man kann die Summen außeinander ziehen, und das 1/4 raus holen, dann habe ich hier:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 5)}=\frac{1}{4}(\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)} + \frac {-1}{(2 k + 5)})=\frac{1}{4}(\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)} +\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac {-1}{(2 k + 5)}) \end{eqnarray*}$

zia, und dann habe ich keinen Schimmer mehr verwirrt

Könnt ihr mir da vielleicht n kleinen Tipp geben

22.02.2018, 13:38

IfindU

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RE: Partialbruchzerlegung
Stichwort ist hier Teleskopsumme. Und du darfst die beiden nicht auseinander ziehen. Rechts steht nun $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ , was generell keine gute Idee ist.

22.02.2018, 14:09

EvD

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RE: Partialbruchzerlegung
hm, die Teleskopsumme ist ... smile

Hieb uns Stichfest Freude

Ich mach das mal für euch Forum Kloppe

also, dachte ich mir auch schon das s so ausschaut...
aber wenn ich 1/5 + 1/7 - $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty }-\frac{1}{2k+5} \end{eqnarray*}$ mache, bekomme ich 1/5+1/7+ 0 und das ist $\begin{eqnarray*} \frac{12}{35} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{35} \end{eqnarray*}$
also das 4 fache von dem was ich eigentlich haben will traurig

22.02.2018, 14:14

IfindU

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RE: Partialbruchzerlegung
Das 4fache... Lustig, dass du vor der Summe noch genau den Faktor 1/4 stehen hast Augenzwinkern

22.02.2018, 14:16

EvD

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RE: Partialbruchzerlegung
ja ne.... man könnte fast meinen das hebt sich auf ... Freude

Danke für deine schnelle Hilfe Freude

22.02.2018, 15:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von EvD
aber wenn ich 1/5 + 1/7 - $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty }-\frac{1}{2k+5} \end{eqnarray*}$ mache

Irgendwie suggeriert das, dass dieser Ausdruck (natürlich ohne den Grenzwert) sowas wie die Partialsummenformel dieser Reihe ist. Dem ist aber nicht so: Richtig ist da

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{(2k+1)(2k+5)} = \frac{1}{4}\sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+5} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{2n+3} - \frac{1}{2n+5} \right) = \frac{3}{35} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2n+3} + \frac{1}{2n+5} \right) \end{eqnarray*}$ .

24.02.2018, 18:26

EvD

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Natürlich hast du recht HAL 9000.

Ich hätte es nicht einfach so in die Landschaft schmeißen sollen.
Ich merke mir das für die Klausur, gäbe bestimmt Punktabzug... und für so was nen Punkt weniger zu bekommen, wehre schon ... ich will ja nicht unnötig sagen, obwohl es das doch sehr gut trifft smile

Danke noch mal für eure Hilfe smile

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