Lin. Unabhängigkeit der Verkettung einer lin. Abb.

22.02.2018, 13:14	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Lin. Unabhängigkeit der Verkettung einer lin. Abb. Meine Frage: Sei f: V -> V linear. Wir definieren f^0 := id und f^k := f^(k-1) ° f für jedes k aus N. Es existiere ein n aus N und ein v aus V mit: f^n(v) =/= 0 f^(n+1)(v) = 0 Eine Teilaufgabe verlangt "Zeigen Sie, dass die Vektoren v, f(v),..., f^n(v) paarweise verschieden und linear unabhängig sind. Meine Ideen: Paarweise verschieden müssen sie sein, sonst würde man einen periodischen Zyklus durchlaufen und f^(n+1) wäre nicht 0. Zur linearen Unabhängigkeit gibt es folgenden Tipp: Nehmen Sie an, es gäbe a0...an welche nicht alle =0 sind, sodass a0v+...+anf^n(v)=0. Sei i das kleinste Element von {0,1,...,k} mit ai=/=0. Eine geeignete Anwendung von f^(n-i) liefert dann den Widerspruch f^n(v)=0. Leider habe ich keine Ahnung, wie man diesen Tipp umsetzen soll, oder wieso man gerade das kleinste i nimmt. Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte. Grüße
22.02.2018, 13:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lin. Unabhängigkeit der Verkettung einer lin. Abb. Du kannst auch induktiv zeigen, dass die unabhängig sind. D.h. zeige $\begin{eqnarray} \{ v, f(v), \ldots, f^k(v) \} \end{eqnarray}$ sind unabhängig. Für $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ : ... Für $\begin{eqnarray} k \to k+1 \end{eqnarray}$ dann den Widerspruch. Angenommen für $\begin{eqnarray} k+1 \end{eqnarray}$ bekommen wir eine linear abhängige Menge, dann ... Edit: Das ist viel zu kompliziert. Nimm dir eine beliebige Linearkombination von $\begin{eqnarray} \{ v, f(v), \ldots, f^k(v) \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_0 v + a_1 f(v) + \ldots a_n f^n(v) = 0 \end{eqnarray}$ . Wende dann immer wieder $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf die entstehende Gleichung an. Kurz bevor dort $\begin{eqnarray} 0 = 0 \end{eqnarray}$ steht, steht dort $\begin{eqnarray} a_0 f^{n-1} (v) =0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} a_0 = 0 \end{eqnarray}$ . Gehst du nun eine Gleichheit zurück, dann folgt daraus $\begin{eqnarray} a_1 = 0 \end{eqnarray}$ usw bis alle Koeffizienten 0 sind. Damit ist die Menge linear unabhängig.
22.02.2018, 14:35	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lin. Unabhängigkeit der Verkettung einer lin. Abb. Das ist eine ziemlich elegante Lösung Müsste man das nicht allerdings machen bis man a0f^n(v)=0 hat anstatt bis a0f^(n-1)(v)=0? Weil das Glied a1f(v) fällt ja erst nach n-maligem anwenden von f weg, weil man dann f^(n+1)=0 hat. Oder habe ich da einen Gedankenfehler?
22.02.2018, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lin. Unabhängigkeit der Verkettung einer lin. Abb. Es ist die gleiche Idee wie in deiner Musterlösung. Bloss macht man das dort nicht iterativ, sondern erschlägt alles sofort mit einem Widerspruch. Und du hast Recht. Ich habe mich vertan.
22.02.2018, 14:48	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lin. Unabhängigkeit der Verkettung einer lin. Abb. mit "geeigneter Anwendung" war wörtlich gemeint, dass man f (n-i)-mal anwenden soll... Also fliegen damit alle größeren Potenzen raus, und man hat aif^(n)=0, also ai=0 dort stehen, was ein Widerspruch zur Wahl von ai war. Vielen Dank, du hast mir wirklich weiter geholfen.
22.02.2018, 14:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lin. Unabhängigkeit der Verkettung einer lin. Abb. Genau. Es ist kürzer, aber sicher nicht wie man (oder wenigstens die meisten) darauf kommen.
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