Gruppeneigenschaft

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blau-eis Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppeneigenschaft
Meine Frage:
Guten Abend zusammen,

in einer Gruppe ist die Gleichung (bzw. ) lösbar (musste ich beweisen). Das kann man doch auch so formulieren, oder?:

ist eine Gruppe ist eindeutig lösbar.

Meine Ideen:
Sehe ich das richtig, dass die Negation eine Möglichkeit eröffnet, zu zeigen, dass ein Verknüpfungsgebilde vielleicht keine Gruppe ist?:

ist nicht eindeutig lösbar (es gibt z. B. keine oder zwei Lösungen) ist keine Gruppe.


Was ist eigentlich so besonders daran, dass bei einer Gruppe eine eindeutige Lösung hat?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gruppeneigenschaft bedingt, dass es zu a auch sein inverses Element a' (bezüglich "*") gibt, sodass

a * a' = n

Ausserdem gilt das Assoziativgesetz (!)*
Nun multipliziert man die Gleichung mit a'

a' * a * x = a' * b

(*) [a' * (a * x) = (a' * a) * x = n * x = x]

-->

n *x = x = a' * b

mY+
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Algebra hat einmal mit der Frage begonnen, wie man Gleichungen lösen kann, deshalb ist es wichtig zu wissen, welche Gleichungen man in Gruppen lösen kann und wie die Lösungen aussehen.
Umgekehrt ist eine Menge mit einer assoziativen inneren Verknüpfung, bei der die Gleichungen ax=b und xa=b stets lösbar sind, eine Gruppe.
Die Eindeutigkeit der Lösungen ergibt sich in beiden Richtungen von selbst (siehe Beitrag von mYthos).

Auch interessant ist, dass die eindeutige Lösung der Gleichungen impliziert, dass die Links- und Rechtsmultiplikation in Gruppen für jedes Gruppenelement jeweils eine Permutation der Gruppe ist. Für endliche Gruppen folgt, dass jede Gruppentafel eine Cayley-Tafel ist (die Umkehrung gilt nicht).

zur ursprünglichen Frage:
Im allgemeinen ergibt sich aus Lösbarkeit einer Gleichung nicht eindeutige Lösbarkeit.
Die Umkehrung "ax=b nicht für alle a,b in G eindeutig lösbar, dann ist G keine Gruppe" ist richtig.
blau-eis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Antwort

Ich merke, ich bin noch nicht weit genug, um alles zu verstehen, also die Tragweite bzw. Bedeutung von Konzepten usw.

Dass in einer Gruppentafel in jeder Zeile (Spalte) zwangsweise genau ein Verknüpfungsergebnis steht, habe auch kürzlich erst erfahren und bewiesen. Ganz interessant, solche grundlegendsten Erkenntnisse zu machen, die für andere absolute Selbstverständlichkeit sind.
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