Projektionen

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23.02.2018, 13:55	sky12	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektionen Ich lerne gerade für eine Prüfung und bin auf folgende Aufgabe gestoßen: Seien $\begin{eqnarray} p_0, p_1 \in End(V) \end{eqnarray}$ Projektionen eines $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_0+p_1=id_V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} def \; p_i \neq 0 \end{eqnarray}$ . Weiters sei für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f_X:V \rightarrow V, v \mapsto f_X(v):=p_0(v)(1-x)+p_1(v)x \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray} \omega \in ker \; p_0 \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ und für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ den Lösungsraum der Gleichung $\begin{eqnarray} f_X(v)=\omega \end{eqnarray}$ . (mit $\begin{eqnarray} End(V) \end{eqnarray}$ sind Endomorphismen in V gemeint) Wie ermittle ich die Lösungsräume jetzt korrekt? Angeblich (weiß nicht, ob die Lösungen korrekt sind) gibt es für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ keine Lösung, für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ alle $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_1(v) = \omega \end{eqnarray}$ und für alle anderen x muss $\begin{eqnarray} p_0(v)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_1(v)=\omega/x \end{eqnarray}$ Weiß jemand wie man diese Lösungsräume ermittelt? Ich denke, man muss für x einsetzten und dann rgendwie herausfinden, in welche Mengen $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ , bzw $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ abbilden und dann damit weiter argumentieren Vielen Dank!
23.02.2018, 14:13	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau dir mal an, was passiert, wenn du auf die zu lösende Gleichung $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ anwendest.
23.02.2018, 14:30	sky12	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay: $\begin{eqnarray} f_X(v) = \omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0(f_X(v)) = p_0(\omega) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0(p_0(v)(1-x)+p_1(v)x) = p_0(\omega) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(1-x) = p_0(\omega) \end{eqnarray}$ Sehe aber nicht, inwiefern mir das jetzt weiter hilft
23.02.2018, 14:42	sky12	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal, die rechte Seite wird ja laut Angabe ja zu 0 weil $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ im Kern von $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ ist. das bedeutet dann $\begin{eqnarray} v=vx \end{eqnarray}$ und somit müsste $\begin{eqnarray} v=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ sein?
23.02.2018, 17:12	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe nicht, wie du von der dritten Zeile auf die vierte kommst, denk da noch mal drüber nach.
23.02.2018, 17:56	sky12	Auf diesen Beitrag antworten »
Angabe: $\begin{eqnarray} p_0+p_1=id_V \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} p_1=id_V-p_0 \end{eqnarray}$ . Für Projektionen gilt $\begin{eqnarray} p \circ p = p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0 \circ p_1 = p_0 \circ (id_V-p_0) = p_0 - p_0 \circ p_0 = p_0 - p_0 = 0 \end{eqnarray}$ In der dritten Zeilen haben wir dann $\begin{eqnarray} p_0 \circ p_0(v)(1-x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_0 \circ p_1(v)x \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} p_0 \circ p_0(v) \end{eqnarray}$ wird v und $\begin{eqnarray} p_0 \circ p_1 \end{eqnarray}$ ist ja 0. Also bleibt $\begin{eqnarray} v(1-x) \end{eqnarray}$ oder?
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23.02.2018, 22:00	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p_0^2 = p_0 \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} p_0 = id \end{eqnarray}$ .
24.02.2018, 08:46	sky12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p_0(v)(1-x)=p_0(/omega) \end{eqnarray}$ Und wie geht's jetzt weiter?
24.02.2018, 14:54	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Die rechte Seite ist jetzt immer noch 0. Schau doch mal, was dir das für die verschiedenen Fälle x=0,1 oder anderes zusammen mit der ersten Gleichung bringt.
24.02.2018, 17:04	sky12	Auf diesen Beitrag antworten »
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