Codewörter/ Linearer Code

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jchanni Auf diesen Beitrag antworten »
Codewörter/ Linearer Code
Meine Frage:
Hallo, ich habe die Aufgabe zu prüfen ob folgende 10 Codewörter teil eines Linea-Codes sind:

a1 = (000001) a6 = (000110)
a2 = (100010) a7 = (011111)
a3 = (100001) a8 = (101111)
a4 = (011011) a9 = (000111)
a5 0 (011000) a10= (111010)


Meine Ideen:
meine idee war mittels XOR zu schauen, ob 2 wörter ein anderes wort ergeben,
also (000001)XOR(100010) = (100011), was ja genau nicht vorkommt. Eine erzeuger- oder kontrollmatrix ist nicht gegeben.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo jchanni,

ein linearer Code ist nichts anderes als ein Untervektorraum, nur hier eben immer über einem endlichen Körper. Untervektorräume sind additiv abgeschlossen. Das XOR entspricht genau der Addition zweier Vektoren über dem endlichen Körper . Daher halte ich dein Vorgehen für absolut sinnvoll smile

LG
sibelius84
 
 
jchanni Auf diesen Beitrag antworten »

also sind die codewörter kein teil eines linearcodes? in teilaufgabe b soll man die kleiste hamming-distanz ermitteln, was ja eher darauf schlussfolgern lässt, das es sich um ein linearcode handelt.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, da hatte ich nicht genau genug gelesen.

Wenn du beliebige Codewörter (gleicher Länge) mit Nullen und Einsen vorgibst, sind die immer Teil eines linearen Codes = Vektorraums. Beliebige 3-Tupel mit reellen Zahlen darin sind ja auch immer Teil des . Die Frage ist dann wohl nach dem kleinsten linearen Code, der durch die gegebenen Wörter erzeugt wird.
jchanni Auf diesen Beitrag antworten »

und wie mach ich das? und kann ich aus den codewörtern auf eine erzeugermatrix schließen? die codewörter sind ja 6 stellen lang, also n = 6. kann ich auf l und k schließeN?

zu teilaufgabe b: der mind. hamming distanz

da der code linear ist, entspricht die hamming distanz dem kleinsten hamming gewicht für
a1 = 000001 = 1, richtig?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip müsstest du alle 45 Summen a1+a2, a1+a3, ..., a1+a10, a2+a3, ..., a2+a10, usw. bilden und alle Ergebnisvektoren, die im Original-Code noch nicht vorkamen, hinzufügen. Diese "XOR"-Addition muss man eben 'schnell mit den Augen' machen.

Die Kardinalität (= Elementanzahl) eines Untervektorraumes über dem endlichen Körper F_2 ist immer eine Zweierpotenz. Es besteht also Grund zur Hoffnung, dass dein linearer Code (= Untervektorraum) 16 Elemente hat. Der Nullvektor fehlt und das von dir eingangs genannte Element, damit hättest du 12 beisammen und bräuchtest noch 4.

Schlimmstenfalls könnte es aber unter den von dir genannten Codewörtern 6 linear unabhängige Vektoren geben und dann wäre dein Code der ganze (F_2)^6, hätte mithin 64 Elemente.

Du könntest auch die Vektoren a1, ..., a10 zeilenweise untereinander in eine Matrix schreiben und diese dann in Zeilenstufenform bringen; wenn ich nicht irre, ist das Ergebnis dann eine Generatormatrix des Codes.
jchanni Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich merk mir das mit der zeilenstufenform. vielen dank für deine Hilfe! =)
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