Verteilung des Grenzwertes normalverteilter Zufallsvariabeln

24.02.2018, 00:17

Garnis

Verteilung des Grenzwertes normalverteilter Zufallsvariabeln

Meine Frage:
Hi Leute
Habe folgendes Problem:
Sei X_n ~ N(mu_n, (sigma_n)^2) und konvergiere X_n gegen X. Zeige, dass X ~ N(mu, sigma^2), wobei mu limes von mu_n ist und (sigma)^2
limes von (sigma)^2_n ist.

Meine Ideen:
Die Idee ist natürlich, dass man zeigt das die Charaktere. fkt. konvergieren. Mein Problem ist folgendes:
Wie zeige ich (sigma)^2 ist limes von(sigma)^2_n ? Bin schon verzweifelt am Abschätzungen suchen, doch ob die Abschätzung a^2-b^2 < (a-b)^2 gültig ist, ist mir leider nicht bekannt.

27.02.2018, 09:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Garnis
und konvergiere X_n gegen X.

In welchem Sinne? Bekanntlich gibt es mehrere verschiedene Konvergenzarten in der Stochastik. Je nachdem welche gemeint ist, kann sich der Beweis unterscheiden. Natürlich könnte man es für die schwächste Variante (d.h. Konvergenz in Verteilung) beweisen, dann folgt es für die anderen Varianten automatisch.

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Ok, nehmen wir an, dass Konvergenz in Verteilung gemeint ist. Sei $\begin{eqnarray*} F_n(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu_n}{\sigma_n}\right) \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X_n\sim \mathcal{N}(\mu_n,\sigma_n^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ wie üblich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Wir wollen nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist. Dazu müssen wir $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} F_n(x) = F(x) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zeigen. Und das ist kein Problem:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{x-\mu_n}{\sigma_n} = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} (x-\mu_n)}{\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n} = \frac{x-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ gilt offensichtlich, und $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist stetig! Das war's dann auch schon.

Nachtrag:

Zitat:

Original von Garnis
wobei [...] (sigma)^2 limes von (sigma)^2_n ist.

[...]

Mein Problem ist folgendes:
Wie zeige ich (sigma)^2 ist limes von(sigma)^2_n ?

Gar nicht, weil es vorausgesetzt ist. smile

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