Eigenwerte "ablesen"

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Bastiann Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte "ablesen"
Meine Frage:
Hallo,
Bei der unteren Matrix (siehe Bild) wollte ich die Eigenwerte berechnen. Das hab ich mit hilfe des charakteristischen polynoms gelöst.
Und hatte als Lösung die Eigenwerte:
1+a
1-a
Und -2 raus.
Mir ist nun aufgefallen dass man diese Eigenwerte eigentlich auch "direkt" sehen könnte.

Meine Ideen:
Deswegen meine Frage;
Ist es erlaubt hier wie folgt vorzugehen:
- 1. Zeile + 3 . Zeile
- 3. Zeile - 3. Zeile.
Somit würde ich eine diagonalmatrix erhalten und die Eigenwerte würde man direkt erkennen.
Aber geht das überhaupt so?
Besonders der letzte Schritt scheint irgendwie falsch zu sein?! Da ich dasselbe ja auch mit der 2. Zeile (oder auch 1. Zeile) machen könnte.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bastian,

das kann man im Allgemeinen so sicher nicht sagen und ist hier eher Zufall. Was man der Matrix tatsächlich unmittelbar ansehen kann, ist, dass e2 ein Eigenvektor zum Eigenwert -2 ist.

Bei der ersten und dritten Spalte könnte man dann etwas rumrätseln oder rumbasteln, indem man sie bspw. als Basisvektoren interpretiert: Der erste wird abgebildet auf sich selbst -a² mal den dritten, und der dritte wird abgebildet auf sich selber minus den ersten. Da könnte man versuchen zu erraten, dass (1,0,a) und (1,0,-a) Eigenvektoren sind. Sind sie das? Könnte hinkommen, absolut sicher bin ich nicht.

LG
sibelius84
 
 
Bastiann Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das jetzt dass diese Umformungen (Zeile auf zeile addieren) die Eigenwerte der Matrix ändern?
Bzw welche Umformungen darf ich machen (ohne die Eigenwerte der Matrix zu ändern) damit ich eine Diagonalmatrix erhalte?

Oder sollte ich wirklich diesen alternativen Lösungsweg schnell wieder vergessen ?

Vielen Dank schonmal
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ihn tatsächlich schnell wieder vergessen.

Es kann recht elegant sein, eine Determinante einer Matrix mit Einträgen aus |R durch Zeilen- und Spaltenumformungen zu berechnen. Beim charakteristischen Polynom ist aber die Determinante einer Matrix zu berechnen, deren Einträge Polynome (kleinergleich ersten Grades und auch nur auf der Hauptdiagonale - aber trotzdem!) sind. Man wird bei Zeilen- oder Spaltenumformungen die Polynome mitmultiplizieren müssen und dann fürchte ich, dass das ganze sehr unübersichtlich wird.
danooh203 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss zurückrudern Wink
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