Eigenwerte bei DGL

25.02.2018, 20:29

33hilfe

Eigenwerte bei DGL

Guten Abend habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe:

Mein Ansatz:

a^2-2a+(1-lambda) = 0

Was muss ich hier jetzt genau beachten für die einzelnen Fälle von lambda?

25.02.2018, 21:19

Helferlein

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Du solltest zunächst einmal die Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausrechnen.
Diese hängen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ab, was die genannte Fallunterscheidung ins Spiel bringt.

25.02.2018, 22:30

33hilfe

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lambda > 0

lambda = u^2

y``- 2y`+ (1+u^2) = 0

a^2-2a + 1 +u^2 = 0

Wie soll ich da auf die Nullstellen im Fall lambda >0 kommen?

25.02.2018, 23:19

Helferlein

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Wo habe ich geschrieben, dass Du erst eine Fallunterscheidung machen sollst und dann die Nullstellen berechnen?
Es ist doch kein Hexenwerk eine quadratische Gleichung zu lösen.

25.02.2018, 23:47

33hilfe

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Wie soll ich denn genau hier die Nullstellen bestimmen?

26.02.2018, 00:07

Helferlein

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Noch nie was von pq-Formel gehört? verwirrt

26.02.2018, 23:37

33hilfe

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Wie gehe ich weiter vor?

27.02.2018, 00:39

Helferlein

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Wie wäre es mit Fallunterscheidung?

27.02.2018, 09:14

33hilfe

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Genau aber was muss ich dabei genau beachten ?
Kurze Erklärung?
Dann kann ich auch gerne Ansätze posten smile

27.02.2018, 09:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von 33hilfe
Genau aber was muss ich dabei genau beachten ?

Wie wäre es mit Brille aufsetzen? In der Aufgabe steht haargenau, welche Fälle zu unterscheiden sind. Jetzt heißt es, Ärmel aufkrempeln und machen.

27.02.2018, 11:16

33hilfe

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Das problem ist ich weiss nicht was man z.b bei lambda >0 , <0 beachten muss?

27.02.2018, 11:23

klarsoweit

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Dann hast du anscheinend noch nie eine DGL 2. Grades gelöst?

Man muß feinfühlig zwischen einfachen und mehrfachen Nullstellen sowie zwischen reellen und komplexen Nullstellen unterscheiden.

27.02.2018, 13:39

33hilfe

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Wie berechne ich das genau für y(pi) für beide Fälle ?

In meiner musterlösung kommt 0 raus dafür ?
Warum?

27.02.2018, 13:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von 33hilfe
Wie berechne ich das genau für y(pi) für beide Fälle ?

Ähh, verstehe jetzt die Frage nicht. y(pi) ist der Funktionswert der Funktion y(x) an der Stelle pi.

Zitat:

Original von 33hilfe
In meiner musterlösung kommt 0 raus dafür ?
Warum?

Weil y(pi) = 0 sein soll. Stichwort: Randbedingung.

27.02.2018, 13:48

33hilfe

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Was mache ich jetzt bei lambda <0 ?

y``- 2y`+ (1-lambda) = 0

Hiervon Nullstellen bestimmen?
a^2-2a + 1 -lambda = 0

27.02.2018, 13:54

HAL 9000

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Vielleicht betrachtest du doch erstmal die beiden angefangenen Fälle $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ bis zum Ende:

Irgendwie bist du noch nicht in der richtigen Spur zu erkennen, was hier eigentlich zu tun ist. Es geht nicht darum, $\begin{eqnarray*} y(0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y(\pi) \end{eqnarray*}$ auszurechnen, denn die sind beide als 0 vorgegeben (Randwerte). Sondern darum, für diese vorgegebenen Randwertbedingungen Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass nichttriviale Lösungen (d.h. ungleich Nullfunktion) der DGL existieren. Und diese Untersuchungen sehen in den Fällen $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ in deinen beiden Scans doch sehr abgewürgt unfertig aus.

27.02.2018, 14:06

33hilfe

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lambda >0 triviale Lösung lambda > 0 kein Eigenwert des Problems.

Was fehlt noch?

27.02.2018, 14:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von 33hilfe
Was fehlt noch?

Es fehlt, daß du mal einen der 3 Fälle ordentlich zu Ende bringst (und nicht von einem zum anderen springst) und uns mal erklärst, in welchen Schlamassel du geraten bist, daß du diese DGL lösen mußt.

Auch die Beantwortung dieser Fragen könnten uns helfen, das ganze Theater mal einzuwerten:
1. Welchen Schulabschluß hast du?
2. Was studierst an welcher Einrichtung (Hochschule, Fachhochschule)?

27.02.2018, 14:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von 33hilfe
lambda >0 triviale Lösung lambda > 0 kein Eigenwert des Problems.

Was fehlt noch?

Naja, in beiden genannten Fällen ergibt sich $\begin{eqnarray*} c_1=0,c_2=0 \end{eqnarray*}$ und damit nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ .

Du klingst irgendwie gereizt so a la "weiß ich doch alles". Tja, entschuldige, dann kreuze das nächste mal eben nicht mit solchen Scans auf, die jeweils mit $\begin{eqnarray*} y(\pi)=? \end{eqnarray*}$ enden. unglücklich

27.02.2018, 14:13

33hilfe

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hahah nein nicht gereizt . Big Laugh

Was muss man denn genau für den Fall lambda <0 beachten ?
Das verstehe ich nicht

27.02.2018, 14:15

klarsoweit

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Schreibe doch da mal die allgemeine Lösung hin. Mittels der Randbedingung mußt du noch die auftretenden Konstanten bestimmen.

27.02.2018, 14:54

33hilfe

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Hier die Lösung für lambda<0

Aber was passiert jetzt genau für y(pi) = .....?
Wie berechne ich da das c1 oder c2 ?
Was soll ich beachten?

27.02.2018, 15:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von 33hilfe
Aber was passiert jetzt genau für y(pi) = .....?

Du kannst y(0) ausrechnen, dann kannst du auch y(pi) ausrechnen, oder was hindert dich daran?

27.02.2018, 16:16

33hilfe

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$\begin{eqnarray*} y= c_1*e^{x}*sin(\sqrt{\lambda }*x) + c_2*e^{x}*sin(\sqrt{\lambda }*x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(\pi )= c_1*e^{\pi }*sin(\sqrt{\lambda }*\pi ) + c_2*e^{\pi }*sin(\sqrt{\lambda }*\pi ) \end{eqnarray*}$

Wie soll es weiter gehen?

27.02.2018, 17:38

HAL 9000

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In der ganzen Copy+Paste-Orgie hast du vergessen, dass zwei der vier "sin" eigentlich "cos" lauten sollten...

27.02.2018, 17:48

33hilfe

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$\begin{eqnarray*} y= c_1*e^{x}*sin(\sqrt{\lambda }*x) + c_2*e^{x}*cos(\sqrt{\lambda }*x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(\pi )= c_1*e^{\pi }*sin(\sqrt{\lambda }*\pi ) + c_2*e^{\pi }*cos(\sqrt{\lambda }*\pi ) \end{eqnarray*}$

Aber trotzdem bin ich mir nicht sicher was man jetzt genau weiter macht ?

27.02.2018, 17:54

HAL 9000

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Bedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ liefert sofort $\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$ . Es bleibt übrig Bedingung $\begin{eqnarray*} 0 = y(\pi) = c_1 e^{\pi}\sin\left(\sqrt{-\lambda}\cdot \pi\right) \end{eqnarray*}$ .

Damit das eine Lösung mit $\begin{eqnarray*} c_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ hat, muss zwingend $\begin{eqnarray*} \sin\left(\sqrt{-\lambda}\cdot \pi\right)=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

P.S.: Mir fällt gerade auf, das muss ja überall $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\lambda} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda} \end{eqnarray*}$ lauten. Habe ich mich auch des unbedachten Copy+Paste von dir schuldig gemacht ... wird umgehend korrigiert.

27.02.2018, 17:56

33hilfe

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Warum sagt man nicht , dass das cos = 0 ist ?

27.02.2018, 17:58

HAL 9000

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absurder Vorschlag
Weil $\begin{eqnarray*} \cos(0)=1\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

27.02.2018, 18:01

33hilfe

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AH ok stimmt .

In meiner Musterlösung steht noch das lambda die Werte -1,-4- ,-9 hat ?

Wie kommen die darauf ?

Ist für mich noch schwer zu verstehen Big Laugh

27.02.2018, 18:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von 33hilfe
In meiner Musterlösung steht noch das lambda die Werte -1,-4- ,-9 hat ?

... usw.

Vielleicht mal nicht dauernd auf die Lösung schauen, sondern den obigen Gedankengang einfach mal vollenden. Ständing lenkst du ab statt mal am Ball zu bleiben. Forum Kloppe

Zurück zum Thema. Wir sind immer noch bei

Zitat:

Original von HAL 9000
Damit das eine Lösung mit $\begin{eqnarray*} c_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ hat, muss zwingend $\begin{eqnarray*} \sin\left(\sqrt{-\lambda}\cdot \pi\right)=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Was bedeutet dies für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

27.02.2018, 18:56

33hilfe

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Das bedeutet das lambda = 0 ist oder?

27.02.2018, 18:57

HAL 9000

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Das ist nur eine der Möglichkeiten. Die Sinusfunktion hat nicht nur die Nullstelle 0.

27.02.2018, 19:00

33hilfe

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Ah der sin von pi, 1pi und 2pi ist auch 0 ?

Und da ein minus vor dem Lambda steht = -1 , -2,-3,-4 oder ?

27.02.2018, 19:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von 33hilfe
Ah der sin von pi, 1pi und 2pi ist auch 0 ?

Ja, allgemein $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ für ganzzahliges $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von 33hilfe
Und da ein minus vor dem Lambda steht = -1 , -2,-3,-4 oder ?

Geh bitte gründlich vor, da steht immerhin auch noch eine Wurzel. Ich frage nochmal: Was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

27.02.2018, 19:12

33hilfe

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lambda kann beliebige Werte einnehmen oder ?

27.02.2018, 20:43

sibelius84

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Nein. Wenn überhaupt, dann kann $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ beliebige Werte annehmen.

Ob $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ beliebige Werte annehmen kann, ist wohl ein Vorher-Nachher-Problem. Du sollst a priori davon ausgehen, dass dies der Fall ist, und a posteriori herausfinden, dass es doch nicht so ist Augenzwinkern

Das klingt jetzt vielleicht etwas kompliziert, letztlich ist es aber immer so, wenn du eine Variable bestimmst. Beispiel: Die Gleichung 2x+5=13. A priori könnte x alles sein. Wenn du die Gleichung löst, siehst du aber, dass x=4 sein muss und keine andere Zahl sein darf.

27.02.2018, 21:27

HAL 9000

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@33hilfe

Warum gehst du nicht von dem aus, was wir bereits wissen und schreitest voran? Ich verstehe dich nicht: ablenken, raten - aber kaum jemals wirklich schließen... unglücklich

Ausgehend von $\begin{eqnarray*} \sin\left(\sqrt{-\lambda}\cdot \pi\right)=0 \end{eqnarray*}$ muss es angesichts der Nullstellen der Sinusfunktion eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\lambda}\cdot \pi = k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ geben, umgeformt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-\lambda} &=& k\\ -\lambda &=& k^2\\ \lambda &=& -k^2 \end{eqnarray*}$ .

Und daraus, genau daraus wird jenes $\begin{eqnarray*} \lambda \in \{-1,-4,-9,-25,\ldots \} \end{eqnarray*}$ .

27.02.2018, 22:26

33hilfe

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Danke sehr schlau Big Laugh

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