Quotientenräume

25.02.2018, 20:43

alina94

Quotientenräume

Hey,
Ich frage mich gerade ob für $\begin{eqnarray*} U,V \subset X \end{eqnarray*}$ Vektorräume gesagt werden kann, dass für die Quotientenräume

$\begin{eqnarray*} (U + V) / V = U/ (U \cap V) \end{eqnarray*}$

gilt. Mein Gedanke dazu ist:

$\begin{eqnarray*} u + v - u' - v' \in V \Rightarrow u - u' \in V \Rightarrow u - u' \in V \cap U, \ \ \ u,u' \in U,\ v, v' \in V \end{eqnarray*}$

und umgekehrt

$\begin{eqnarray*} u - u' \in V \cap U \Rightarrow u - u' \in V \Rightarrow u + v - u' - v' \in V \ \ \ \forall v, v' \in V \end{eqnarray*}$ .

Allerdings kenne ich mich mit Quotientenräumen kaum aus und auch im Skript steht nicht viel mehr dazu, deswegen weiß ich nicht ob das von der Definition her überhaupt Sinn ergibt? (Kann $\begin{eqnarray*} (U + V) / V \end{eqnarray*}$ überhaupt die gleichen Äquivalenzklassen wie $\begin{eqnarray*} U / (U \cap V) \end{eqnarray*}$ enthalten?)

Wäre super, wenn da jemand einen Tipp hätte. Danke schon mal smile

26.02.2018, 00:28

sibelius84

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Hallo Alina,

nun ja, Gleichheit gilt nicht; aber die beiden von dir genannten Strukturen sind tatsächlich isomorph, das ist der Inhalt eines Isomorphiesatzes, schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/ Isomorphi...schen_Kategorie

Seinen Beweis kann man etwas abkürzen, wenn man den Homomorphiesatz schon kennt.

LG
sibelius84

27.02.2018, 00:06

alina94

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Zitat:

Original von sibelius84
Hallo Alina,

nun ja, Gleichheit gilt nicht; aber die beiden von dir genannten Strukturen sind tatsächlich isomorph, das ist der Inhalt eines Isomorphiesatzes, schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/ Isomorphi...schen_Kategorie

Seinen Beweis kann man etwas abkürzen, wenn man den Homomorphiesatz schon kennt.

LG
sibelius84

Ah genau nach so etwas hatte ich gesucht. Danke!

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