Komplexe Zahlen

25.02.2018, 21:10

Mii1

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Was ist der Realteil und Imaginärteil von e^-ln a+b*i und wie lautet der Betrag?

Meine Ideen:
Na ja man kann den Term ja auseinanderpflücken zu (e^-ln a) * (e^b*i)
Wie gehe ich weiter vor? Polarform? Wie genau? Eine Lösung wäre top! Ich danke euch!

25.02.2018, 21:32

philip122

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RE: Komplexe Zahlen
Meinst du $\begin{eqnarray*} e^{-\text{ln}a+bi} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^{-\text{ln}a}+bi \end{eqnarray*}$ ? Ich schätze mal du meinst $\begin{eqnarray*} e^{-\text{ln}a+bi} \end{eqnarray*}$ ......

Wie du richtig erkannt hasst gilt: $\begin{eqnarray*} e^{-\text{ln}a+bi}=e^{-\text{ln}a}\cdot e^{bi} \end{eqnarray*}$
Da ja a eine reelle Zahl ist, musst du nur noch den zweiten Teil berücksichtigen. Der zweite Term ist allerdings bereits in Polarform (Argument/Winkel b und Radius 1). Du musst also nur noch diesen Teil mithilfe von Sinus und Kosinus in Realteil und Imaginärteil trennen.

26.02.2018, 13:30

Mii1

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RE: Komplexe Zahlen
Genau ich meine e^-lna+b*i (also alles zusammen nicht getrennt)

Es gilt ja: e^i*phi = cos(phi)+sin(phi)*i

wenn ich nun also e^b*i in die Polarform umwandel, heißt es dann. : e^i*b = cos(b)+sin(b)*i (??)

Wie gehe ich nun weiter vor? Wie lautet der Betrag? Leider versteh ich das Prinzip nicht so recht..

26.02.2018, 14:12

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Mii1
Wie gehe ich nun weiter vor?

Du suchst jetzt von cos(b)+sin(b)*i den Real- und den Imaginärteil raus. Was sonst?

Zitat:

Original von Mii1
Wie lautet der Betrag? Leider versteh ich das Prinzip nicht so recht..

Das Prinzip ist, daß von einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z = a \cdot e^{b \cdot i} \end{eqnarray*}$ der Faktor a den Betrag angibt. Augenzwinkern

26.02.2018, 14:26

Mii1

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RE: Komplexe Zahlen
Ist cos(b) nun mein Realteil und sin(b)*i mein Imaginärteil oder was? Oder muss ich das irgendwo einsetzen damit ich das bekomme?

Ist mein Betrag dann -a wenn e^-lna umgeformt wird?

26.02.2018, 15:00

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Mii1
Ist cos(b) nun mein Realteil

Fast. Beachte, daß dann vor dem ganzen noch der Faktor $\begin{eqnarray*} e^{-ln(a)} \end{eqnarray*}$ steht smile

Zitat:

Original von Mii1
sin(b)*i mein Imaginärteil oder was?

Ist richtig, wenn du das i wegläßt und den oben stehenden Hinweis beachtest.

Zitat:

Original von Mii1
Ist mein Betrag dann -a wenn e^-lna umgeformt wird?

Wir sind uns einig, daß im allgemeinen $\begin{eqnarray*} e^{-ln(a)} \neq a \end{eqnarray*}$ ist?

26.02.2018, 15:19

Mii1

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RE: Komplexe Zahlen
Also wäre der IM-Teil e^-lna * cos(b) oder muss dazwischen ein plus?

RE-Teil ist dann e^-lna * sin(b) (wieso ohne i? Das verstehe ich nicht so ganz, weil angenommen da wurde sin(pi/4)*i stehen, kann ich das i doch auch nicht einfach weglassen?)

Ich dachte da e^lna * e^b*i = -a*e^i*b ? also ich hätte schon gedacht das mein Betrag nun -a ist..

Eigentlich gibt das r in r*e^i+phi den Betrag an mit Wurzel(a^2+b^2) und die Lösung von der Wurzel wird dann eingesetzt in r*e^i+phi für r. In dem Beispiel e^-ln a+b*i fällt es mir jedoch schwer den Betrag zu nennen, weil keine Zahlen vorhanden sind..

26.02.2018, 15:55

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Mii1
Also wäre der IM-Teil e^-lna * cos(b) oder muss dazwischen ein plus?

Das ist der Realteil.

Zitat:

Original von Mii1
RE-Teil ist dann e^-lna * sin(b) (wieso ohne i?

Das ist der Imaginärteil. Und ohne i, weil das so definiert ist. Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Definition

Zitat:

Original von Mii1
Ich dachte da e^lna * e^b*i = -a*e^i*b ? also ich hätte schon gedacht das mein Betrag nun -a ist..

Nochmal: es ist weder $\begin{eqnarray*} e^{ln(a)} = -a \end{eqnarray*}$ noch ist $\begin{eqnarray*} e^{-ln(a)} = a \end{eqnarray*}$ .

26.02.2018, 16:03

Mii1

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RE: Komplexe Zahlen
Du hast Recht! Das hab ich eben vertauscht. Oben habe ich IM-Teil und RE-Teil aber richtig zugeordnet..

Könnte ich einfach Betrag = Wurzel[(e^-lna * cos(b))^2 + (e^-lna * sin(b))^2] schreiben? Ich weiß leider nämlich echt nicht weiter..

26.02.2018, 17:02

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen
Von mir aus, wenn es dir hilft. Ich habe ja nichts dagegen, daß $\begin{eqnarray*} e^{-ln(a)} \end{eqnarray*}$ der Betrag ist. Mich stört nur die weitere Umformung.

26.02.2018, 17:11

HAL 9000

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@Mii1

Wenn du noch weiter endlos das $\begin{eqnarray*} e^{-\ln(a)} \end{eqnarray*}$ unvereinfacht mitschleppst, bluten mir - und vermutlich nicht nur mir - die Augen. Hinweis $\begin{eqnarray*} e^{-z} = \frac{1}{e^z} \end{eqnarray*}$ .

26.02.2018, 17:33

Mii1

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RE: Komplexe Zahlen
Also ist es umgeformt a^-1 -> das ist dann auch mein Betrag?

lautet es nun a^-1 *cos(b) und a^-1*sin(b) ? wobei ersteres re-teil und zweiteres im-teil ist?

ich blick es einfach nicht....

27.02.2018, 08:51

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Mii1
Also ist es umgeformt a^-1 -> das ist dann auch mein Betrag?

Ja.

Zitat:

Original von Mii1
lautet es nun a^-1 *cos(b) und a^-1*sin(b) ? wobei ersteres re-teil und zweiteres im-teil ist?

Ja.

Zitat:

Original von Mii1
ich blick es einfach nicht....

Wo ist denn nun das Problem? Nochmal zusammengefaßt:

Von einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z := a \cdot e^{b \cdot i} \end{eqnarray*}$ (a > 0) ist a der Betrag und $\begin{eqnarray*} a \cdot cos(b) \end{eqnarray*}$ der Realteil und $\begin{eqnarray*} a \cdot sin(b) \end{eqnarray*}$ der Imaginärteil. Und falls du eine Vorlesung besuchst, sollte das da auch mal erwähnt worden sein.

27.02.2018, 10:49

Mii1

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RE: Komplexe Zahlen
Danke dir für deine Erklärungen und die Geduld. Ich schätze ich habe so eine ausführliche Erklärung mal gebraucht, um das vollkommen zu verstehen. Nun bin ich in der Lage die restlichen Sachen alleine zu bearbeiten.

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