Komplexe Zahl bestimmen und Betrag berechnen.

25.02.2018, 21:56	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl bestimmen und Betrag berechnen. Meine Frage: Hallo, das ist die Aufgabe: $\begin{eqnarray} \left(\frac{i-\sqrt{3} }{2}\right)^{317} \end{eqnarray}$ Ich will das in die Eulerform bringen. Der Betrag von z, also \|z\| = 1 Phi ist wie folgt: $\begin{eqnarray} \phi =arctan(\frac{b}{a}) = arctan(\frac{\frac{1}{2} }{\frac{-\sqrt{3} }{2} }) = arctan(\frac{1}{-\sqrt{3} })= 30 -> 30 \cdot \frac{2\pi}{360} = \frac{1}{6}\pi \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} 1\cdot e^{i\cdot n\cdot \frac{1}{6} \pi } \end{eqnarray}$ Wie baue ich nun (...)^317 ein?... Die Lösung lautet wie folgt. aber die haben da einiges rausgelassen... [attach]46579[/attach] wie kommt zB. die 5/6 im Exponenten von e zustande? Das sollte doch eindeutig 1/6 sein... mfg EDIT: Habe ich eventuell a und b beim arctan verwechselt?... aber z = a+bi, also $\begin{eqnarray} -\sqrt{3} \end{eqnarray}$ /2 + i/2 Meine Ideen: Die Musterlösung ist falsch oder?
26.02.2018, 00:25	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahl bestimmen und Betrag berechnen. Hallo Knightfire, zunächst hast du dich beim Winkel verrechnet. Da die Zahl, die du in Eulerform bzw. Polarform bringen willst, im zweiten Quadranten (also oben links) liegt, muss der Winkel größer als pi/2 sein. Die Formel, die du verwendet hast, gilt so glaube ich nur für den ersten Quadranten, vielleicht noch für den vierten, aber nicht für die komplexen Zahlen mit Realteil kleiner als 0. Nun, wie baust du die 317 ein? Sagen wir mal, $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ wäre richtig gewesen. Dann hättest du $\begin{eqnarray} (e^{\frac{\pi i}{6}})^{317} = (e^{317\frac{\pi i}{6}}) = (e^{5\frac{\pi i}{6}}) \end{eqnarray}$ , weil 312/6 eine gerade Zahl ist und man sie im Exponenten folglich weglassen kann (aufgrund von $\begin{eqnarray} e^{2\pi i}=1 \end{eqnarray}$ ). Die Musterlösung sollte stimmen LG sibelius84

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