Normalverteilung N(2.5,6) mit Stichprobe n=10 gegeben - P von Bereich mit Schätzern bestimmen?

26.02.2018, 07:58

eder13

Normalverteilung N(2.5,6) mit Stichprobe n=10 gegeben - P von Bereich mit Schätzern bestimmen?

Hallo Leute Wink

Ich besuche bei meiner Uni die Lehrveranstaltung Statistik und arbeite mich gerade durch das Skript. Das funktioniert (bis jetzt) auch recht gut, jedoch komm ich bei einer Aufgabe nicht weiter, da diese irgendwie auch nicht im Skript vorkommt.

Folgende Aufgabenstellung:

Aus einer N(2.5, 6)–Verteilung wird eine Stichprobe vom Umfang n = 10 entnommen. Man berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(30≤S^2 ≤44) und P(1.3≤X≤3.5,30≤S^2 ≤44). (Anmerkung - bei P(1.3≤X≤3.5) ist das X nmit Strich, also hier ist der Schätzer für ¼ gemeint)

In der Lösung kommt folgendes heraus: 0.31, 0.14

Meine Ideen:

Zuerst einmal versteh ich nicht ganz wie man zum Schätzer S^2 kommt. Für diesen bräuchte ich doch die Werte der Stichprobe oder? Weil S^2 ist doch der Schätzer für die Varianz oder?
Danach hab ich mich etwas rumgespielt - laut der Angabe ist es normalverteilt mit ¼ = 2.5 und Ã = 6. Mit diesen Werten hab ich mich ein bisschen herumgespielt. Ich dachte wenn ich *10 rechne (n=10) bekomm ich die Wsk für P(30≤S^2 ≤44), leider nein. Dann dachte ich, wenn ich Ã^2 nehme bekomme ich die Varianz (und dadurch den Schätzer??) - half auch nichts.
Dann hab ich mit dem ¼ = 2.5 und Ã = 6 mal den Bereich 1.3 bis 3.5 eingegeben, woraufhin ca. 0,14556.. herausgekommen ist - wird wohl auch nicht stimmen.

Wie hängen die Schätzer S^2 und X (mit horizontalen Strich) bei diesem beispiel zusammen und wie bekomm ich die? Bzw. wie komm ich auf das Ergebnis? Irgendwie hab ich das Gefühl, dass hier irgendeine Angabe fehlt..

LG eder13

26.02.2018, 08:03

eder13

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irgendwie hats das nicht ganz richtig kopiert in mein Thema, sorry, hier nochmal:

Aus einer N(2.5,6) Verteilung wird eine Stichprobe n = 10 entnommen. Man berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(30 <= S^2 <= 44) und P(1.3 <= X <= 3.5), P(30 <= S^2 <= 44)

E(X) = 2.5 bzw. Standardaweichung = 6

26.02.2018, 08:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von eder13
Zuerst einmal versteh ich nicht ganz wie man zum Schätzer S^2 kommt. Für diesen bräuchte ich doch die Werte der Stichprobe oder? Weil S^2 ist doch der Schätzer für die Varianz oder?

Ja, $\begin{eqnarray*} S^2= \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n (X_k-\bar{X})^2 \end{eqnarray*}$ ist der Schätzer für die Varianz, das ist eine Zufallsgröße und als solches nicht mit der Schätzung $\begin{eqnarray*} s^2= \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n (x_k-\bar{x})^2 \end{eqnarray*}$ (welches tatsächlich eine reelle Zahl basierend auf einer konkreten Stichprobe ist) zu verwechseln!

Sind die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch normalverteilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , so sind $\begin{eqnarray*} \bar{X},S^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig mit den Einzelverteilungen $\begin{eqnarray*} \bar{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1} \end{eqnarray*}$ (d.h. Chiquadratverteilung mit $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden). Daraus lassen sich dann die von dir geforderten Intervallwahrscheinlichkeiten berechnen.

EDIT: Ich hab mal nachgerechnet. Bedauerlicherweise hält sich der Aufgabensteller nicht an die Gepflogenheit, die Normalverteilung mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen. Sein $\begin{eqnarray*} N(2.5,6) \end{eqnarray*}$ meint also in Wahrheit $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(2.5,6^2) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

26.02.2018, 22:56

eder13

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Erstmal Danke für deine Hilfe, das stand nicht im Skript smile

Die Theorie ist schon mal gut, nur versteh ich nicht ganz, wie ich nun vorgehen muss.. kannst fu mir vielleicht die Schritte erklärn?

LG eder13

27.02.2018, 07:37

HAL 9000

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Wir wissen damit, dass $\begin{eqnarray*} Y:=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{9S^2}{6^2} = \frac{1}{4}S^2 \end{eqnarray*}$ diese $\begin{eqnarray*} \chi_9 \end{eqnarray*}$ -Verteilung besitzt. Somit folgt

$\begin{eqnarray*} P(30\leq S^2\leq 44) = P\left( \frac{30}{4}\leq \frac{1}{4}S^2=Y \leq \frac{44}{4}\right) = F_Y(11)-F_Y(7.5) \end{eqnarray*}$ ,

und dann brauchst du zur konkreten Berechnung eine Verteilungsfunktionstabelle der $\begin{eqnarray*} \chi_9 \end{eqnarray*}$ -Verteilung (sei es in Papier- oder elektronischer Form).

27.02.2018, 08:27

eder13

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Ah verstehe, das erste Ergebnis hab ich. smile

Aber wie komm ich jetzt zum zweiten?
P(1.3 <= X <= 3.5, 30 <= S^2 <= 44)

Versteh die Beziehung von $\begin{eqnarray*} \bar{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{eqnarray*}$ nicht wie ich dann auf 0,14 kommen soll?
Geb ich eine Normalverteilung mit e(x) = 2.5 und standardabw = 3.6 mit den grenzen 1.3 bis 3.5 kommt 0,145.. heraus, das ist aber nicht die Vorgehensweise/Ergebnis oder?

LG eder13

27.02.2018, 08:53

HAL 9000

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Erstens ist nicht die Standardabweichung, sondern die Varianz von $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ gleich 3.6, d.h., die Standardabweichung dieser Größe ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{3.6} \end{eqnarray*}$ .

Und zweitens bezieht sich das angegebene Ergebnis 0.14 wohl nicht auf $\begin{eqnarray*} P(1.3\leq \bar{X}\leq 3.5) \end{eqnarray*}$ , sondern auf $\begin{eqnarray*} P(1.3\leq \bar{X}\leq 3.5,\; 30\leq S^2\leq 44) \end{eqnarray*}$ , das ist ja schließlich auch das, wonach gefragt wurde!

27.02.2018, 09:59

eder13

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Ok, und wie geben ich $\begin{eqnarray*} P(1.3\leq \bar{X}\leq 3.5,\; 30\leq S^2\leq 44) \end{eqnarray*}$ in die Formel ein? Hab noch nie mit mehr als 2 "Grenzen" gleichzeitig gearbeitet bzw. sollte dann hier nicht ein Intervall herauskommen?

Sorry für das viele gefrage.

27.02.2018, 10:38

HAL 9000

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Alles (!) lesen und berücksichtigen:

Zitat:

Original von HAL 9000
so sind $\begin{eqnarray*} \bar{X},S^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig

Das bedeutet u.a. auch $\begin{eqnarray*} P(1.3\leq \bar{X}\leq 3.5,\; 30\leq S^2\leq 44) = P(1.3\leq \bar{X}\leq 3.5) \cdot P(30\leq S^2\leq 44) \end{eqnarray*}$ .

27.02.2018, 18:04

eder13

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Vielen Dank, jetzt hab ichs! Gott

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