Potential - Taylor Entwicklung

26.02.2018, 13:49	krakslik	Auf diesen Beitrag antworten »
Potential - Taylor Entwicklung Hallo, diese Aufgabe steht: $\begin{eqnarray} V = V_0(\frac{a}{x}+\frac{x}{b}) \end{eqnarray}$ ist das Potential. 1. Wann ist die in der Ruhelage 2. Geben Sie die harmonische Näherung der Bewegungsgleichung an. 3. Für welche Amplituden ist die Näherung eine gute Näherung? Für die 1. habe ich V'=0 gemacht und habe am Ende dass $\begin{eqnarray} x^2=ab \end{eqnarray}$ . Dann dachte ich, dass wir um ab entwicklen müssen, weil die Kraft ist $\begin{eqnarray} F = -V_0(-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{b}) \end{eqnarray}$ . Aber wie kann man diese Funktion entwickeln genau? Was entwickle ich genau? Ich bin da verwirrt. Danke im Voraus.
26.02.2018, 16:45	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
linearisiert um $\begin{eqnarray} x_0=\sqrt{ab} \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} F(x) \approx V_0\left(-\frac {2x}{ b^{\frac 32}\sqrt a}+\frac 2b\right) \end{eqnarray}$ 3.) für welche Amplituden das genügt ist per se nicht klar.
26.02.2018, 21:31	krakslik	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Beitrag. Wie hast du das genau gemacht?
26.02.2018, 21:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentengleichung im Punkt $\begin{eqnarray} x_0=\sqrt{ab} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} F(x) \approx F(x_0) + F'(x_0)\cdot (x-x_0) \end{eqnarray}$ Wobei hier $\begin{eqnarray} F(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ ist, denn so wurde $\begin{eqnarray} x_0=\sqrt{ab} \end{eqnarray}$ ja konstruiert.
26.02.2018, 23:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} a=b=1 \end{eqnarray}$ hier die Kraftfunktion und deren Linearisierung. ähnlich dem mathematischen Pendel mit der Linearisierung $\begin{eqnarray} \sin \alpha \approx \alpha \,\text{für}\ \alpha_{max} < 5^\circ \end{eqnarray}$ im Rückstellmoment kann man eine Kosinusschwingung erwarten.
27.02.2018, 11:22	krakslik	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärung ich habe die Entwicklung verstanden. Harmonische Reihe haben die Form: $\begin{eqnarray} x'' + w^2_0x = 0 \end{eqnarray}$ Wir haben: $\begin{eqnarray} x'' + V_0(\frac{2x}{b^\frac{3}{2}a^\frac{1}{2}} + \frac{2}{b}) \end{eqnarray}$ Also es gibt hier eine inhomogene DGL. Soll ich den letzten Term vernachlässigen?
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