Direkter Beweis

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Ahnungsloser17 Auf diesen Beitrag antworten »
Direkter Beweis
Meine Frage:
Ich versuche hier gerade Aufgaben aus einem Übungsbuch zu lösen, aber obwohl sie relativ einfach sind, habe ich meine Probleme.

Es geht um folgende Aufgabe:
"Beweise die Richtigkeit der folgenden Behauptung direkt:
Aus a + a^-1 = 10 folgt a^3 + a^-3 = 970"

Meine Ideen:
Das erste was man sieht, dass es sich um eine Implikation handelt, also:

a + a^-1 = 10 => a^3 + a^-3 = 970

Und hier komme ich um ehrlich zu sein nicht weiter. In den Lösungen steht, dass ich mit drei potenzieren sollen, aber (a + a^-1)^3 ist ungleich a^3 + a^-3, also verstehe ich die Lösung nicht ganz. Ich müsste letztlich ja nur die Gleichung links in die rechte umwandeln.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ahnungsloser17
aber (a + a^-1)^3 ist ungleich a^3 + a^-3

Es behauptet ja auch niemand, dass diese beiden Terme gleich sind, und es kommt ja auch nicht , sondern 970 raus. Gibt dir das denn gar nicht zu denken? Idee!

Stichwort: Binomischer Satz.
Ahnungsloser17 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

klar tut es das. (a + a^-1)^3 ist ungleich a^3 + a^-3 und 10^3 ist ungleich 970, weshalb ich nunmal die Lösung nicht verstehe.

Und was meinst du mit dem binomischen Satz? Ich wüsste nicht, wo ich ihn hier anwenden kann. traurig

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der binomische Satz für Exponent 3 besagt . Nun setz da doch mal und ein.
Ahnungsloser17 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich ja auch schon vorher getan, mein Problem liegt aber genau da. Und zwar ist (a + a^-1)^3 = a^3 + 3a + 3/a + 1/a^3 und ist damit ungleich a^3 + a^-3.

Vielleicht verstehe ich einfach etwas anderes Fundamentales nicht. Implikation heißt, die Aussage stimmt nicht, wenn die hinreichende Bedingung war und die notwendige falsch ist. Anders gesagt, wenn die linke Seite stimmt, muss die rechte stimmen, also muss ich die linke Gleichung einfach in die rechte umwandeln. So alles korrekt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, du hörst mitten in der Überlegung auf, was soll ich dazu sagen... Einfach weitermachen:

.


Man kann hier übrigens eine einfache Rekursionsgleichung für entwickeln:

, d.h. .

Startwerte sind sowie .

2
10
98
970
9602
95050
940898
...
 
 
Ahnungsloser17 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Tja, du hörst mitten in der Überlegung auf, was soll ich dazu sagen... Einfach weitermachen:



Das "3(a+a^-1)" und das damit verbunde a+a^-1 = 10 ist mir gar nicht aufgefallen...
So ergibt das natürlich Sinn... Fühle mich ja schon leicht betrogen von der Mathematik, vielleicht sollte ich lernen auf solche Sachen zu achten.

Vielen Dank für deine Hilfe!!
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