Vollständige Induktion

27.02.2018, 15:21

Ulysses133

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Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo liebe Forumer,

ich sitze gerade an Übungen für die Klausur. Induktion ist natürlich ein wichtiger Punkt in Ana I, weswegen ich diese übe, bis ich sie sehr gut beherrsche, das klappt soweit auch ganz gut, jedoch hinke ich bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{2^{n}} \frac{(-1)^{k}}{k} = - \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} <br /> \end{eqnarray*}$

gilt.

Meine Ideen:
Irgendwie stand ich da auf dem Schlauch das für n=0 zu zeigen, deswegen habe ich einfach mal direkt losgelegt.
Mein Ansatz ist bisher folgender:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{2^{n}} \frac{(-1)^{k}}{k} + \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = - (\sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n+1} )<br /> \end{eqnarray*}$

Nach IA folgt ja
$\begin{eqnarray*} <br /> - \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = - (\sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n+1} )<br /> \end{eqnarray*}$

Also muss doch nur noch gezeigt werden, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = - \frac{1}{n+1} <br /> \end{eqnarray*}$

Ist das soweit der richtige Weg oder habe ich da etwas total Verkehrtes begonnen?

Vielen Dank für die Hilfe schon mal

27.02.2018, 15:26

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Ulysses133
Irgendwie stand ich da auf dem Schlauch das für n=0 zu zeigen

Du kannst ja auch mit n=1 anfangen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Ulysses133
Mein Ansatz ist bisher folgender:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n}} \frac{(-1)^{k}}{k} + \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = - (\sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n+1} ) \end{eqnarray*}$

Äh, es ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}} \frac{(-1)^{k}}{k} \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n}} \frac{(-1)^{k}}{k} + \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

27.02.2018, 17:51

HAL 9000

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Man kann wohl getrost annehmen, dass die eigentliche Behauptung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{{\color{red}2n}} \frac{(-1)^k}{k} = -\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ lautet. Also nix da mit Zweierpotenz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2018, 19:48

Ulysses133

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Achja, genau. Da war ich wohl irgendwie durcheinander.

Aber was kann ich denn da machen? Brächte es etwas die Summen durch Indexverschiebung irgendwie aufzuteilen?

Ich steh echt auf dem Schlauch Erstaunt2

Erstaunt2

28.02.2018, 07:42

klarsoweit

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Fang mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ an und ersetze jedes n durch n+1. Dann formst du die Summe um, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.

28.02.2018, 08:47

Ulysses133

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Okay, dann versuch ich das mal. Ausgeschrieben sehen die Summen ja so aus:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + .... + \frac{1}{2n} <br /> <br /> \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4} + .... + \frac{1}{2(n+1)} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Da wird ja der Unterschied schön deutlich: Die eine Summe ist "um eins verschoben".
Also muss ich doch irgendwie schaffen, dass bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$ nur noch das 2n im Nenner stehenbleibt.

verwirrt

verwirrt

Ich versteh echt nicht, warum ich mich mit der Aufgabe so schwer tue...mir muss "nur" die richtige Idee kommen.

Edit:
Ich kann doch auch die Summe so darstellen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{n+1} <br /> \end{eqnarray*}$

Damit habe ich dann doch die Ausgangssumme aus der Voraussetzung da stehen und könnte doch
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = - \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k}}{k} <br /> \end{eqnarray*}$
(also die Voraussetzung) anwenden verwirrt

verwirrt

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28.02.2018, 09:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulysses133
Ich kann doch auch die Summe so darstellen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Um das zu erkennen, schreib doch bitte auch mal den vorletzten (!) Summanden hier rechts

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4} + .... + \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

mit hin.

28.02.2018, 09:22

Ulysses133

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Ulysses133
Ich kann doch auch die Summe so darstellen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Um das zu erkennen, schreib doch bitte auch mal den vorletzten (!) Summanden hier rechts

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4} + .... + \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

mit hin.

Der vorletzte Summand ist doch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

Also müsste es dann so sein:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \sum\limits_{k=2n+1}^{2(n+1)} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1} <br /> \end{eqnarray*}$

Edit: Man kann dann natürlich auch als erste Summe
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+2}^{2n} \frac{1}{k} <br /> \end{eqnarray*}$
schreiben

Und folglich
$\begin{eqnarray*} <br /> - \frac{1}{n+1} <br /> \end{eqnarray*}$
weglassen.
Jedoch finde ich es besser, wenn die erste Summe bei n+1 beginnt, damit man die Voraussetzung auch anwenden kann.

28.02.2018, 09:29

HAL 9000

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Man kann es auch übertreiben mit der Summensymbolik - eine Summe mit genau zwei Gliedern kann man auch ausschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ähnliches gilt für die Summe auf der anderen Seite der Behauptung: Auch da kommen nicht ein, sondern zwei neue Glieder hinzu.

28.02.2018, 09:30

Ulysses133

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Zitat:

Original von HAL 9000
Man kann es auch übertreiben mit der Summensymbolik - eine Summe mit genau zwei Gliedern kann man auch ausschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ähnliches gilt für die Summe auf der anderen Seite der Behauptung: Auch da kommen nicht ein, sondern zwei neue Glieder hinzu.

Das habe ich so als Summe geschrieben, weil mir nicht klar war, dass diese Summe lediglich zwei Glieder besitzt verwirrt

verwirrt

28.02.2018, 09:40

klarsoweit

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Was willst du jetzt damit sagen?

Im Vergleich von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ hat die erste Summe "vorne" einen Summanden weniger und "hinten" zwei Summanden mehr.

28.02.2018, 09:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulysses133
Das habe ich so als Summe geschrieben, weil mir nicht klar war, dass diese Summe lediglich zwei Glieder besitzt

Wenn die Probleme bereits auf dieser Ebene liegen, dann wäre wohl folgendes anratsam:

Schreib eine solche Behauptung wie $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k}{k} = -\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ doch einfach mal für die ersten paar $\begin{eqnarray*} n=1,2,3 \end{eqnarray*}$ ausführlich aus!

$\begin{eqnarray*} n=1:\quad -\frac{1}{1} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=2:\quad -\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=3:\quad -\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Viele sind sich ja zu fein für sowas, aber offenkundig scheint es ja bisweilen nötig, um solche Fehler wie oben zu vermeiden.

28.02.2018, 12:31

Ulysses133

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Sowas bekomme ich für gewöhnlich hin.
Jedoch dachte ich, dass die Glieder vor
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{2(n+1)} <br /> \frac{1}{2(n+1)-1} <br /> \frac{1}{2(n+1)-2} <br /> \end{eqnarray*}$
usw sind verwirrt

verwirrt

Wo ist denn da mein Denkfehler, wenn lediglich ein Summand nur noch davor steht?

Edit:
Ach, ja, klar....
2(n+1)-1 = 2n+2-1 = 2n+1

Man sollte sowas vielleicht auch mal bedenken. Dann ist klar, warum da nur noch zwei Summanden sind.

28.02.2018, 12:54

Ulysses133

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Wenn ich das nun für die andere Summe auch mache, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k}}{k} = -\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .... + \frac{(-1)^{2n}}{2n} <br /> \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} \frac{(-1)^{k}}{k} = -\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .... + \frac{(-1)^{2n}}{2n} + \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} + \frac{(-1)^{2(n+1)}}{2(n+1)} <br /> <br /> Also: \sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} \frac{(-1)^{k}}{k} = \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k}}{k} + \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} + \frac{(-1)^{2(n+1)}}{2(n+1)} <br /> \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt die Voraussetzung anwendet, dann müsste doch Folgendes rauskommen:
$\begin{eqnarray*} <br /> - \left( \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} +\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k}}{k} + \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} + \frac{(-1)^{2(n+1)}}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Also "nur" noch, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> - \left( \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} + \frac{(-1)^{2(n+1)}}{2(n+1)} <br /> \end{eqnarray*}$
gilt

Oder?

28.02.2018, 13:05

HAL 9000

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So ist es, der Nachweis dieser letzten Gleichung ist der fehlende Baustein für die Komplettierung des Induktionsschritts $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ .

28.02.2018, 13:09

Ulysses133

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Ist eine Fallunterscheidung notwendig?

Also dafür, ob die Exponenten von (-1) gerade bzw ungerade sind

28.02.2018, 13:11

HAL 9000

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Du kannst ausrechnen was rauskommt auch ohne Fallunterscheidung. Und wieder ein Problem, was durch Anschauen der ersten paar n=1,2,3 geklärt wäre ... aber nein, es wird nicht gemacht.

28.02.2018, 13:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ulysses133
Also dafür, ob die Exponenten von (-1) gerade bzw ungerade sind

Man braucht ja nur einfache Fragen beantworten:
1. Ist 2n gerade oder ungerade?
2. Ist 2n+1 gerade oder ungerade?
Big Laugh

Big Laugh

28.02.2018, 13:33

Ulysses133

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich hab's:

2n+1 ist ja in jedem Fall ungerade, also:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} = - \frac{1}{2n+1} <br /> \end{eqnarray*}$

Und 2(n+1) bzw 2n+2 ist in jedem Fall gerade, also:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(-1)^{2(n+1)}}{2(n+1)} = \frac{1}{2n+2} <br /> \end{eqnarray*}$

Folglich:
$\begin{eqnarray*} <br /> - \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} + \frac{1}{n+1} = - \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} <br /> <br /> - \frac{1}{2n+2} + \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2n+2} <br /> <br /> - \frac{1}{2n+2} + \frac{2}{2n+2} = \frac{1}{2n+2} <br /> <br /> \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{2n+2} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

28.02.2018, 13:33

Ulysses133

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Ulysses133
Also dafür, ob die Exponenten von (-1) gerade bzw ungerade sind

Man braucht ja nur einfache Fragen beantworten:
1. Ist 2n gerade oder ungerade?
2. Ist 2n+1 gerade oder ungerade?
Big Laugh

Big Laugh

Ja, genau das fiel mir just in dem Moment auf Big Laugh

Big Laugh

28.02.2018, 13:48

klarsoweit

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OK, nachdem du nun den Beweis in seinen einzelnen Bestandteilen vor dir liegen hast, kannst du alles zusammenbauen, um den Induktionsschritt in - sagen wir mal - drei Zeilen abzuhandeln. smile

smile

28.02.2018, 14:40

Ulysses133

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Danke für die Hilfe. War eine nicht so einfach Geburt mit mir, deswegen weiß ich es umso mehr zu schätzen Freude

Freude

Ja, dass das jetzt eigentlich ein Dreizeiler ist, sehe ich auch, aber es war doch ganz gut das mal so auseinander zu pflücken, das hilft beim Verstehen und ich hab gemerkt, wie wichtig es sein kann eine Summe mal auszuschreiben, um gewisse Dinge zu sehen. Big Laugh

Big Laugh

28.02.2018, 14:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulysses133
und ich hab gemerkt, wie wichtig es sein kann eine Summe mal auszuschreiben, um gewisse Dinge zu sehen.

Selbst wenn das das einzige ist, was von diesem Thread haften bleibt, dann hat es sich schon gelohnt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2018, 18:54

Ulysses133

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Ulysses133
und ich hab gemerkt, wie wichtig es sein kann eine Summe mal auszuschreiben, um gewisse Dinge zu sehen.

Selbst wenn das das einzige ist, was von diesem Thread haften bleibt, dann hat es sich schon gelohnt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nicht das Einzige, aber das Markanteste.
Wie die Induktion an sich abläuft, weiß ich. Man versucht es immer so umzuformen, dass man die Voraussetzung anwenden kann und meist (jedenfalls noch auf dem Niveau) löst es sich dann deutlich simpler und dann sollte man natürlich schneller erkennen, was 2n+1 doch Wichtiges bedeuten kann.

Also noch mal danke, vor allem für die Geduld. Big Laugh

Big Laugh

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