Produkt der Höhenabschnitte

27.02.2018, 17:27	holyduc	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt der Höhenabschnitte Meine Frage: In einem Dreieck unterteilt der Höhenschnittpunkt die Höhen in Abschnitte. Nun scheint das Produkt der Höhenabschnitte immer gleich zu sein. $\begin{eqnarray} AH \cdot HH_{a} = BH \cdot HH_{b} = CH \cdot HH_{c} \end{eqnarray}$ Wie kann man das beweisen? Meine Ideen: Die Ähnlichkeiten der Dreiecke könnten eine Rolle spielen, wie diese aber mit der genannte Gleichung zusammenhängt, weiß ich nicht. Wäre sehr dankbar für Hilfe
27.02.2018, 19:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man mit dem Sehnensatz in Kombination mit dem Thalessatz beweisen: Laut Thalessatz liegen $\begin{eqnarray} H_a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H_b \end{eqnarray}$ (der rechten Winkel wegen) auf dem Kreis über dem Durchmesser $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Die Strecken $\begin{eqnarray} AH_a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} BH_b \end{eqnarray}$ sind Sehnen in diesem Kreis, die sich im Punkt $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ schneiden. Laut Sehnensatz gilt dann $\begin{eqnarray} \|AH\|\cdot \|HH_a\| = \|BH\|\cdot \|BH_b\| \end{eqnarray}$ .

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