Weierstraß Majorantenkriterium ->stetig

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fra Auf diesen Beitrag antworten »
Weierstraß Majorantenkriterium ->stetig
Angenommen ich habe eine Funktion f(x) die durch eine Reihe darstellbar ist.

Diese Reihe soll gemäß Weierstraßkriterium absolut konvergent sein. Laut dem Weierstraßkriterium ist sie dann ja auch gleichmäßig konvergent und die gleichmäßige Konvergenz erhält ja die Stetigkeit.

Ist das die Begründung warum f(x) stetig ist?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt drauf an, wo du startest und wo du hinwillst.

Wenn du f als Funktionsterm gegeben hast, dann gehe ich davon aus, dass es im Normalfall einfacher sein wird, diesen Funktionsterm auf Stetigkeit zu untersuchen, als ihn in eine Reihe zu entwickeln und dann mit Stetigkeitserhaltung zu argumentieren.

Wenn du f direkt als Reihe gegeben hast (und halt nur abstrakt weißt, dass es mit Konvergenz denn auch eine Funktion ist), dann geht die Folgerung so:

Konvergenz gleichmäßig, alle Summandenfunktionen stetig => die Summenfunktion ist stetig. Klingt zugegeben etwas trivial, sollte man aber der Vollständigkeit halber nicht vergessen.

Es gibt übrigens auch eine Art von Konvergenz, bei der die Summen- bzw. Grenzfunktion selbst dann stetig ist, wenn die Summanden es nicht ist. Passenderweise heißt diese Konvergenzart stetige Konvergenz. smile
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