Sturm-Liouville

27.02.2018, 19:53

33hilfe

Sturm-Liouville

Bin jetzt zu der nächsten Aufgabe über gegangen wo ich wieder hilfe brauche ?

Ansätze von der i) siehe foto.

Was muss ich bei lambda <1 beachten ?
Ist mein ANsatz richtig?

27.02.2018, 20:35

sibelius84

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Hi,

das auf dem ersten Bild ist richtig, das auf dem zweiten Bild falsch. Gemäß der Ergebnisse vom Bild erhältst du die beiden Basislösungen

$\begin{eqnarray*} e^{\pm \sqrt{1-\lambda}\cdot x} \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} \lambda<1 \end{eqnarray*}$ , kannst du die Geschichte direkt vergessen und entsorgen, denn da werden nur 'echte e-Funktionen' als Lösungen herauskommen, die nie und nimmer die Forderung erfüllen können werden, am Rand verschwindende erste Ableitung zu haben.

Falls $\begin{eqnarray*} \lambda>1 \end{eqnarray*}$ , kann man mehr herausholen. Dann sind deine beiden (komplexen) Basislösungen nämlich $\begin{eqnarray*} e^{\pm i\sqrt{-1+\lambda}} \end{eqnarray*}$ , und daraus ergeben sich die reellen Basislösungen $\begin{eqnarray*} \cos(\sqrt{\lambda-1}\cdot x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{\lambda-1}\cdot x) \end{eqnarray*}$ .

Als nächstes musst du damit die allgemeine Lösung aufschreiben, diese ableiten und die Randbedingungen einsetzen, um damit herauszufinden, welche Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hier eigentlich sinnvoll sind.

LG
sibelius84

27.02.2018, 20:43

33hilfe

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Die Lösungen kann ich ja aufschreiben ,aber wie berechne ich das für lambda <1 ?

Das hast du gar nicht erklärt Big Laugh

27.02.2018, 20:44

sibelius84

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Dann lies meinen Beitrag am besten noch mal von vorn. Überdies glaube ich auch nicht, dass du in 8 Minuten großartige Anstrengungen unternommen haben kannst, um das auszuführen, was ich in meinem Beitrag geschrieben habe.

27.02.2018, 21:09

33hilfe

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Habe noch mal meinen ersten Ansatz korriegiert.

Stimmt so in etwa meine erste Ableitung ?

Ist schon kniffelig die Ableitung

27.02.2018, 23:59

sibelius84

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Ok. Dann setz doch mal die Randbedingungen ein. Evtl. vorher zur Verschönerung noch ein wenig zusammenfassen / ausklammern, eine Klammer für alle Faktoren vor dem Sinus, und eine für alle Faktoren vor dem Cosinus. Wenn du die Randstellen einsetzt, ergeben sich Gleichungen, denn du weißt ja, was herauskommen muss (eben an beiden Rändern 0), genauer gesagt ein lineares 2x2-Gleichungssystem, das du dann mit gewohnten Verfahren (Additionsverfahren / Gauß) lösen kannst.

28.02.2018, 09:20

33hilfe

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Ich habe es mal ausgeklammer:

Aber in meiner Musterlösung sieht die Ableitung ein wenig anders aus?

Wie kommen die auf den Term?

Wie haben die das vereinfacht?

28.02.2018, 09:23

33hilfe

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Und ich komme auf die Lösung?

28.02.2018, 11:30

sibelius84

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Ich gehe mal von dem zweiten Bild in deinem drittletzten Post (gestern 21:09) aus.

Es gibt viele Möglichkeiten, wie man ausklammern, ausmultiplizieren, umklammern könnte. Die sinnvolle Möglichkeit ist hier aber "eine Schublade für den Sinus, und eine Schublade für den Cosinus": Man schreibt den Sinus hin, macht eine fette Klammer auf, lässt ganz viel Platz und macht dann eine fette Klammer zu. In der Klammer sammelt man alle Koeffizienten des Sinus. Mit dem Cosinus dann analog.

$\begin{eqnarray*} y'(x) = \sin(\sqrt{\lambda-1}\,\cdot\, x)\big[-c_1\sqrt{\lambda-1}\big] + \cos(\sqrt{\lambda-1}\,\cdot\, x)\big[c_2\sqrt{\lambda-1}\big] \end{eqnarray*}$ .

Huch, so voll sind ja die Schubladen gar nicht geworden Augenzwinkern

Mir ist nicht klar, was die Zeilen 3 und 5 deines Bildes aussagen sollen. Eventuell hast du da falsch abgeleitet. Die würde ich einfach durchstreichen.

Die Randbedingung kannst du übrigens bereits einsetzen, ohne zuvor zusammengefasst zu haben. Da man ja 0 und pi einsetzt und der gute Sinus mit im Boot ist, fällt da eh jede Menge weg. (Damit ist 0 gemeint; bei pi etwas Vorsicht walten lassen, wir haben ja noch den Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda-1} \end{eqnarray*}$ ; am rechten Rand kann y'(x) also nur dann 0 werden, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einen geeigneten Wert hat. So kann man darauf schließen, was die geeigneten Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sind.)

28.02.2018, 11:53

33hilfe

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Ich dachte man wendet bei der Ableitung Produktregel an?

Anscheinend wohl doch nicht

28.02.2018, 13:01

HAL 9000

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Falls du von deinen Scans

[attach]46601[/attach] [attach]46602[/attach]

redest: Da hast du offenbar die Funktion

$\begin{eqnarray*} c_1\cos\left(\sqrt{\lambda-1}x\right) ~{\color{red}\cdot}~ c_2\sin\left(\sqrt{\lambda-1}x\right) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} c_1\cos\left(\sqrt{\lambda-1}x\right) ~{\color{red}+}~ c_2\sin\left(\sqrt{\lambda-1}x\right) \end{eqnarray*}$

abgeleitet. Finger1

28.02.2018, 14:17

33hilfe

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Merke ich auch gerade Big Laugh

$\begin{eqnarray*} y`(0) = c_2* \sqrt{\lambda -1} \end{eqnarray*}$

c2 = 0

Wenn ich pi in die Ableitung einsetze bleibt ja auch nur cos übrig oder ?
Weil sin pi = etwa 0

Soll ich einfach sagen ,dass c1 = 0 ist oder wie ?

traurig

28.02.2018, 14:42

HAL 9000

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Warum gehst du nicht langsam Schritt für Schritt vor? Angesichts deiner Fehlerhistorie scheint mir dieses überhastete Vorgehen eine denkbar schlechte Strategie für dich zu sein. unglücklich

Also mal ganz langsam: $\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$ infolge $\begin{eqnarray*} y'(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist erstmal richtig.

Es verbleibt $\begin{eqnarray*} y'(x) = -c_1\sqrt{\lambda-1}\sin(\sqrt{\lambda-1}x) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y'(\pi)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ führt dann auf Bedingung $\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{\lambda-1}\pi)=0 \end{eqnarray*}$ , ganz analog zum anderen Thread. Und auch wieder mit unendlich vielen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Lösungen, die man diesmal über $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda-1}=k \end{eqnarray*}$ erfassen kann. Irgendwie musst du doch jetzt mal die Parallelitäten zu dem gestern diskutieren Problem sehen.

28.02.2018, 15:01

33hilfe

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Ja ich sehe die Paralitäten aber sehr langsam Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda -1}= k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda -1= k^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = k^2+1 \end{eqnarray*}$

So weit habe ich jetzt jetzt verstanden .

Ich weiss ,dass ich jetzt einfach auf meine Musterlösung gucken und auf die Eigenfunktion kommen könnte Big Laugh

Aber wie ist genau die Denkweise auf die Eigenfunktion zu kommen?

28.02.2018, 16:02

HAL 9000

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Wie wäre es denn einfach mit Einsetzen des gefundenen Wertes $\begin{eqnarray*} \lambda=k^2+1 \end{eqnarray*}$ in den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y(x) = c_1\cos(\sqrt{\lambda-1}x)+c_2\sin(\sqrt{\lambda-1}x) \end{eqnarray*}$ ,

von dem wir ja bereits $\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$ wissen (d.h. der zweite Summand fällt weg). Natürlich können wir dann o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$ setzen, denn jedes Vielfache einer Eigenfunktion ist natürlich wieder eine Eigenfunktion (mit Ausnahme von Faktor 0). Das ist dann eine zu diesem speziellen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gehörende Eigenfunktion für das vorliegende RWP.

28.02.2018, 16:31

33hilfe

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Kann ich nach dem einsetzen einfach sagen das c1 und c2 = 0 sind?

28.02.2018, 16:47

sibelius84

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Parallele Paralyse Klo

Nee im Ernst, das letzte Foto ist wieder ein kleiner Fortschritt. Bei der untersten Zeile würde ich auch noch "=0" dahintersetzen. Die zweitunterste Zeile kannst du umformen zu c1=c2 (unter der Bedingung lambda ungleich 1; den Fall lambda=1 musst du also separat betrachten, wird aber sehr schnell sehr trivial) und dann in die unterste einsetzen, damit müsstest du die Werte für c1 und c2 rausbekommen können.

Wenn du die Ergebnisse raus hast geschockt

, vergleiche mal mit meinem Kommentar zum Fall lambda<1 in meinem allerersten Post - vielleicht verstehst du dann, was ich meinte smile

28.02.2018, 17:05

33hilfe

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ok .

lambda < 1

c1 = c2 Verstanden .

lambda = 1

-a^2 +1 = lambda

Jetzt 1 = lambda

-a^2 = 0

a^2 = -0

a1/2 = 0

die Triviale Lösung also.
y(x) = c1+c2*x

c1 = 0

Die Lösung die dann übrig bleiben würde wäre :

$\begin{eqnarray*} yn = -c_2* \sqrt{1-\lambda } *e^{-( \sqrt{1-\lambda })*\pi } \end{eqnarray*}$

Jetzt was Hall immer macht :

Man kann sagen das die e Funktion irgendwie wegfällt und dann:

$\begin{eqnarray*} yn = \sqrt{1-\lambda } \end{eqnarray*}$ = k ?

k^2 = 1-lambda

k^2 -1 = -lambda

lambda = 1-k^2

Richtig?

28.02.2018, 17:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von 33hilfe
Jetzt was Hall immer macht :

Man kann sagen das die e Funktion irgendwie wegfällt und dann:

Mal interessehalber: Wer ist denn dieser Hall, der so seltsame "irgendwie wegfällt"-Vorschläge macht. Kenne ich den? verwirrt

28.02.2018, 17:23

33hilfe

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Das war so aus Spass .

Nein ich glaube eher ,dass da irgendwas durcheinander geraten ist Big Laugh

Habe ich da irgendwo noch Fehler drin?

28.02.2018, 17:28

33hilfe

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ok .

lambda < 1

c1 = c2 Verstanden .

lambda = 1

-a^2 +1 = lambda

Jetzt 1 = lambda

-a^2 = 0

a^2 = -0

a1/2 = 0

die Triviale Lösung also.
y(x) = c1+c2*x

y`(x) = c2
c2 = 0

y´(pi) = c2*pi

Puuh weiter komme ich jetzt wieder nicht ?

28.02.2018, 19:51

sibelius84

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Du hast jetzt die [uninteressanten] Trivialfälle lambda=1 und lambda<1 mehr oder minder erfolgreich abgefrühstückt. Freude

Jetzt würde ich mich auf den nichttrivialen Fall lambda>1 konzentrieren. Denn nur da macht die ganze Sturm-Liouville-Theorie (und -Praxis) wirklich Sinn! smile

28.02.2018, 20:06

33hilfe

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lamba > 1
Ich glaube dieser Weg war nach der Musterlösung gar nicht mehr verlangt Big Laugh

Aber was ich jetzt so nicht ganz verstehe ,warum die da noch am Ende der Musterlösung diese Matrix aufgestellt haben ?

Kannst du mir das erklären ?

Und wie kommen die auf den Eigenwert 1 bei lambda = 1?

28.02.2018, 20:08

33hilfe

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Sorry aber das mit lambda >1 haben wir doch schon auch berechnet ?
Irgendwo auf der ersten Seite Big Laugh

01.03.2018, 09:35

33hilfe

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Noch paar Tipps als Erklärung ?

01.03.2018, 11:16

sibelius84

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Du hattest ja auf deinem zweiten Foto von gestern 16:31 durch Einsetzen der Randbedingungen ein lineares 2x2-Gleichungssystem aufgestellt. Lineare Gleichungssysteme sind bekanntlich immer von der Form "Ax=b". Die Matrix, die die da hingeschrieben haben, ist genau die Matrix A dieses Gleichungssystems.

Da ja die Ableitung an beiden Rändern verschwinden soll, sieht man auf einen Blick, dass die konstante Nullfunktion eine triviale Lösung ist (denn ihre Ableitung, nämlich wiederum die Nullfunktion, erfüllt ja trivialerweise die Forderung, an beiden Rändern zu verschwinden). Wenn nun det A ungleich Null, so weiß man, dass das LGS "Ax=b" eindeutig lösbar ist. Es gibt dann also außer der Nullfunktion keine andere Lösung, und wie ich bereits in meinem allerersten Post in diesem thread geschrieben hatte: Dann wird das ganze uninteressant (man sagt auch: trivial) und man kann es getrost vergessen und entsorgen. Augenzwinkern

01.03.2018, 17:32

33hilfe

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Wie berechnen die hier bei der Musterlösung das 2 te Integral für n ungleich k?

Wie kommen die auf das Integral?

01.03.2018, 19:58

sibelius84

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Mit dem Additionstheorem für den Cosinus gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos((k+n)x) = \cos(nx+kx)=\cos(kx)\cos(nx) - \sin(nx)\sin(kx) \end{eqnarray*}$ und entsprechend auch

$\begin{eqnarray*} \cos((k-n)x) = \cos(kx+(-n)x)=\cos(kx)\cos(-nx) - \sin(kx)\sin((-n)x) = \cos(kx)\cos(nx)+\sin(kx)\sin(nx) \end{eqnarray*}$ ,

wobei wir zuletzt benutzt haben, dass der Sinus gerade und der Cosinus ungerade ist.

Addiert man beide Gleichungen und teilt durch 2, so erhält man

$\begin{eqnarray*} \cos(kx)\cos(nx) = \frac 1 2 \left( \cos((k+n)x) + \cos((k-n)x) \right) \end{eqnarray*}$ ,

und das ist halt wesentlich praktischer, als wenn man da mit partieller Integration rumdoktert. Augenzwinkern

Auf analoge Weise lassen sich übrigens auch Formeln für $\begin{eqnarray*} \sin(kx)\cos(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(kx)\sin(nx) \end{eqnarray*}$ basteln.

01.03.2018, 21:15

33hilfe

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Wie die das erste Integral ausgerechnet und woher die auf die Formel kommen habe ich verstanden .

Aber wieso integrieren die plötzlich cos ^2.....?

02.03.2018, 00:48

sibelius84

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Das Teil soll ja eine Orthonormalbasis bilden, d.h.

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi y_n(x)y_k(x)\,dx = 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} n \neq k \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \int_0^\pi y_n(x)y_k(x)\,dx = 1 \end{eqnarray*}$ , falls n = k. Oder eher gesagt dann eben

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi y_n^2(x)\, dx = 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist ja $\begin{eqnarray*} y_n(x)=c_n\cos(nx) \end{eqnarray*}$ , also erhält man

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi c_n^2\cos^2(nx)\, dx = 1 \end{eqnarray*}$ .

Daher muss man hier cos² integrieren.

02.03.2018, 07:51

33hilfe

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Aha letzte frage noch zu dem Aufgabengeil :

Wieso wird dann am Ende noch nach 1 integriert ?

Woher kommen die darauf ?

Und woher kommen die c0 und cn ERGEBNISSE ?

02.03.2018, 11:00

sibelius84

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Wir hatten ja die Forderung

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi c_n^2\cos^2(nx)\, dx = 1 \end{eqnarray*}$ .

Für n=0 ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi c_0^2\cos^2(0x)\, dx = \int_0^\pi c_0^2\cdot 1\, dx = 1 \end{eqnarray*}$ .

Deshalb wird zum Schluss noch die konstante Einsfunktion integriert.

An die Ergebnisse für c_0 bzw. c_n kommt man, indem man nach der Berechnung der Integrale nach diesen Unbekannten umformt.

04.03.2018, 20:56

33hilfe

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An die Ergebnisse für c_0 bzw. c_n kommt man, indem man nach der Berechnung der Integrale nach diesen Unbekannten umformt.

Irgendwie verstehe ich es trotzdem nicht wie ich das machen soll? verwirrt

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