Komplexe Zahlen (Summe) rechnen

27.02.2018, 23:37

luk100

Komplexe Zahlen (Summe) rechnen

Hallo,

kann mir jemand mit einer Aufgabe helfen?

Hier ist die Aufgabe:

Berechne x und y. Hinweis: Es kann hilfreich sein, x+iy zu betrachten

$\begin{eqnarray*} x = \sum\limits_{k=0}^{2017} cos(\frac{2\pi k}{2018})<br /> <br /> y = \sum\limits_{k=0}^{2017} sin(\frac{2\pi k}{2018}) \end{eqnarray*}$

28.02.2018, 00:04

sibelius84

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Hallo luk100,

benutze die Euler'sche Gleichung

$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ ,

dann das dritte Potenzgesetz und die geometrische Summenformel.

LG
sibelius84

28.02.2018, 00:48

luk100

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Hallo sibelius84,

ich bin so gekommen aber bin mir nicht sicher, wie ich weiter machen sollte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2017} e^{i\frac{2\pi k}{2018}} = \sum\limits_{k=0}^{2017} ({e^{i\frac{2\pi}{2018}})}^k = \sum\limits_{k=0}^{2017} {(cos(\frac{2\pi}{2018})+isin(\frac{2\pi}{2018})}^k \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier die geometrische Summenformel benutzte, dann kann ich nich unbedingt finden was x und y sind. Was mache ich falsch?

28.02.2018, 01:02

mYthos

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Die geometrische Reihe ist erst dann zu summieren, wenn du die einzelnen Glieder (nach Euler) als e-Potenzen geschrieben hast.

$\begin{eqnarray*} x_k + iy_k = e^{\frac{2k\pi}{2018}i} \end{eqnarray*}$

Bestimme zunächst das erste Glied der Reihe und die Anzahl der Summanden. Dann kann der Quotient festgestellt und in die Summenformel eingesetzt werden.

Die Reihensumme ist eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteil sind die Summe der x- bzw- y-Reihe.

mY+

28.02.2018, 01:27

luk100

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Entschuldigung aber ich bin noch verwirrt. Ist was ich habe bisher richtig oder soll ich neu anfangen? Was bringt es für k=0 einzusetzen?

28.02.2018, 01:38

mYthos

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Mit k = 0 bekommst du das erste Glied der Reihe.
Das andere habe ich dir schon hingeschrieben, also das k-te Glied, das steht ja auch bei dir neben der Summe, du brauchst nicht neu anfangen.
Jetzt wandle das doch in die e-Potenz um, dann kannst du (mit dem Quotienten) die Summe der Reihe berechnen. Wieviele Glieder sind zu summieren?

mY+

28.02.2018, 10:09

luk100

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Meinst du so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2017} e^{i\frac{2\pi k}{2018}} = \frac{1-e^{\frac{i2\pi(2018)}{2018}}}{1-e^{\frac{i2\pi}{2018}}} \end{eqnarray*}$

Falls das richtig ist, was mache ich mit dem Nenner? Und auch wenn ich k=0 bestimme, dann kann ich nicht mehr die geom. Summenformel nutzen.

28.02.2018, 10:29

mYthos

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Zitat:

Original von luk100
...
Und auch wenn ich k=0 bestimme, dann kann ich nicht mehr die geom. Summenformel nutzen.

Weshalb denn nicht?

Bei k = 0 ist x0 = 1 und y0 = 0. Der Winkel ist 0 und damit ( mit $\begin{eqnarray*} e^0 \end{eqnarray*}$ ) beginnt also die geometrische Folge.
Mit k = 1 erhalten wir x1 und y1 und somit q.
Das alles wird nun in die Summenformel eingesetzt; wie ersichtlich, hast du dies auch richtig gemacht.

Den Nenner lasse einmal so wie er ist und bestimme den Zähler, kürze dort im Exponenten durch 2018: Welchen Wert hat $\begin{eqnarray*} exp(2 \pi i) \end{eqnarray*}$ ?

mY+

28.02.2018, 10:46

luk100

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So dann sind beide Summen gleich null?

28.02.2018, 10:49

mYthos

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Bingo!