Und täglich grüßt die Funktionssynthese!

28.02.2018, 19:06

Marcsmathe

Und täglich grüßt die Funktionssynthese!

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades.

Die Aufgabenstellung lautet : Der Sattelpunkt der Funktion ist W( 1/ 8), der Hochpunkt (-2/4,5). Wie muss hier das Gleichungssystem aufgestellt werden, ohne auf ein System mit fünf Gleichungen bzw, fünf Koeffizienten zu kommen ?

28.02.2018, 19:25

Dopap

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ich lese 5 Bedingungen, und das passt zu $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1)=0 f'(1)=0 f(1)=8 f'(-2)=0 f(-2)=4.5 \end{eqnarray*}$

wo ist das Problem?
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edit: o.k. der Hochpunkt ist bei mir ein Tiefpunkt. Verstehe! verwirrt

01.03.2018, 16:58

klauss

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RE: Und täglich grüßt die Funktionssynthese !
Vermutlich soll (-2/4,5) tatsächlich ein Tiefpunkt sein. Oder die Koordinaten sind falsch angegeben. Wäre es ein Hochpunkt, müßte zwischem diesem und dem Sattelpunkt noch ein Tiefpunkt liegen. Gleichzeitig muß eine ganzrat. Funktion 4. Grades an beiden Rändern des Definitionsbereichs in die Unendlichkeit gleichen Vorzeichens verschwinden.
Verschiebt man die Funktion in y-Richtung, entspräche der Sattel einer dreifachen Nullstelle. Grob skizziert liefert das einen Graphen, der nicht zu einer ganzrat. Funktion 4. Grades paßt.

01.03.2018, 17:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Verschiebt man die Funktion in y-Richtung, entspräche der Sattel einer dreifachen Nullstelle.

Das ist auch gewissermaßen eine Antwort auf die "Faulheitsanfrage"

Zitat:

Original von Marcsmathe
Wie muss hier das Gleichungssystem aufgestellt werden, ohne auf ein System mit fünf Gleichungen bzw, fünf Koeffizienten zu kommen ?

Man setzt also einfach an

$\begin{eqnarray*} y(x) = a(x+b)(x-x_S)^3 + y_S = a(x+b)(x-1)^3 + 8 \end{eqnarray*}$ ,

und hat sich nur noch um zwei statt fünf Koeffizienten zu kümmern. smile

Und diese beiden gewinnt man aus $\begin{eqnarray*} f(-2)=4.5 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f'(-2)=0 \end{eqnarray*}$ . Und ja, es muss dort ein Tiefpunkt sein, denn anders ist das mit einem Polynom vierten Grades hier nicht machbar.

01.03.2018, 17:20

Marcsmathe

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Bei den Angaben ist mir versehentlich ein Fehler unterlaufen ! Der Sattelpunkt ist W( 1/ 0).

01.03.2018, 17:26

Dopap

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Faulheitsanfrage + schlechte Aufgabe, genau

edit: Schreibfehler? das nützt jetzt auch nix mehr

$\begin{eqnarray*} a_3=0 \end{eqnarray*}$ hat das irgendeine Bedeutung?

01.03.2018, 17:28

Marcsmathe

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Marcsmathe
Wie muss hier das Gleichungssystem aufgestellt werden, ohne auf ein System mit fünf Gleichungen bzw, fünf Koeffizienten zu kommen ?

Man setzt also einfach an

$\begin{eqnarray*} y(x) = a(x+b)(x-x_S)^3 + y_S = a(x+b)(x-1)^3 + 8 \end{eqnarray*}$ ,

u.

Und wie kommst du auf die Herleitung, Profi ? Herleitung bitte an meine Korrektur anpassen, damit gleich zwei Fliegen mit einer Klappe geschlagen sind !

01.03.2018, 17:51

HAL 9000

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Die Herleitung muss nur insoweit angepasst werden, dass nun die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate des Sattelpunktes $\begin{eqnarray*} y_S=0 \end{eqnarray*}$ statt vorher $\begin{eqnarray*} y_S=8 \end{eqnarray*}$ ist.

Nach klauss' Vorrede gibt es nicht mehr viel herzuleiten: Sattelpunkt heißt kritischer Punkt, d.h. erste Ableitung Null. Und es heißt auch Wendepunkt, also zweite Ableitung Null. Und $\begin{eqnarray*} f(x)-y_S \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle natürlich auch Null.

Wenn die Funktion selbst sowie die ersten $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ Ableitungen einer Polynomfunktion an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ gleich Null sind, dann bedeutet dies, dass $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ eine mindestens $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle dieses Polynoms ist, und das Polynom somit gemäß $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-x_S)^k\cdot g(x) \end{eqnarray*}$ mit einem anderen Polynom $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ faktorisierbar ist. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vierten Grades ist, bleibt für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nur noch ersten Grades übrig, und das parametriere ich eben per $\begin{eqnarray*} g(x)=a(x+b) \end{eqnarray*}$ .

01.03.2018, 22:23

Dopap

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es besteht keine direkte Notwendigkeit einen speziellen Ansatz zu wählen. Verstehe die Aufgabenstellung nicht. Das LGS der 5 Bedingungen liefert

$\begin{eqnarray*} p(x)=-\frac 16x^4+x^2-\frac 43x+\frac 12 \end{eqnarray*}$ und das passt dann auch.

02.03.2018, 10:39

HAL 9000

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Notwendigkeiten hin oder her, es ging darum, ob man die Anzahl der zu bestimmenden Parameter nicht vielleicht reduzieren kann. Und ja, das geht, man muss dann eben nur etwas mehr Grips in den Ansatz stecken.

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x+b)(x-1)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = a(x-1)^2[(x-1)+3(x+b)] = a(4x+3b-1)(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Extremalbedingung $\begin{eqnarray*} f'(-2)=0 \end{eqnarray*}$ liefert damit $\begin{eqnarray*} -8+3b-1=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ .

Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(-2)=4.5 \end{eqnarray*}$ ergibt dann eingesetzt $\begin{eqnarray*} -27a=4.5 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Ergebnis ist dann $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{6}(x+3)(x-1)^3 \end{eqnarray*}$ .

02.03.2018, 14:37

Dopap

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die ursprünglich falsche Angabe $\begin{eqnarray*} f(1)=8 \end{eqnarray*}$ lies mich die Frage so lesen:

ohne 6 Gleichungen zu verwenden ? aber jetzt ist alles klar.

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