Stetigkeit

01.03.2018, 09:47

drag00

Stetigkeit

Hallo,

ich bin wirklich schlecht mit Beweisen besonders mit Stetigkeit. Kann jemand mir mit den zwei Teilaufgaben helfen?

1. Sei $\begin{eqnarray*} f:= [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig mit f(0)=f(1). Zeige: es existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in [0, 1/2] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x+1/2) \end{eqnarray*}$ . Hinweis: Betrachte g(x)=f(x)-f(x+1/2).

2. Sei $\begin{eqnarray*} g:= [0,1] \rightarrow \mathbb R, g(x) = sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ . Bestimme alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1/2] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x+1/2) \end{eqnarray*}$ . Hinweis: es kann hilfreich sein, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x+1/2)=cos(\pi x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1/2] \end{eqnarray*}$ .

01.03.2018, 10:05

HAL 9000

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Hinweise muss man zwar nicht, aber kann man beachten. Und wenn einem nichts anderes einfällt, sollte man es nun wirklich damit versuchen.

1. Die empfohlene Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-f\left(x+\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ hat den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ .

a) Ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stetig?

b) Betrachte die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ an den Intervallenden, insbesondere wie deren Vorzeichen miteinander zusammenhängen.

2. Mit dem Hinweis ist klar, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(\pi x) = \cos(\pi x) \end{eqnarray*}$ zu lösen ist. Schon mal von der Tangensfunktion gehört?

P.S.: Bei 2. definierst du erst $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , redest dann aber über ein nicht eingeführtes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Ich nehme einfach mal an, dass damit dieselbe Funktion gemeint ist, d.h., es ist $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ .

01.03.2018, 15:44

drag00

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1a. Da g(x) eine Zusammensetzung von zwei stetigen Funktionen, ist g(x) auch stetig. Richtig?
1b. $\begin{eqnarray*} g(0) = f(0) - f(1/2) = f(1/2) - f(0); g(1/2) = f(1/2) - f(1) = f(1/2)- f(0) \end{eqnarray*}$ . Einsetzen für f(0) in g(0) ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} g(0) = f(1/2)-g(1/2)-f(1/2) = g(1/2)<br /> \end{eqnarray*}$
Somit ist: $\begin{eqnarray*} f(0) - f(1/2) = f(1/2)-f(1) = f(1/2)-f(0) \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} f(0) = f(1/2) \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ein x in [0, 1/2] wobei f(x) = f(x+1/2)

Ist das richtig?

2. Bin ich noch nich sicher, wie ich das zeigen sollte.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

01.03.2018, 15:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von drag00
Also $\begin{eqnarray*} f(0) = f(1/2) \end{eqnarray*}$ .

Mit ein klein wenig Einschalten des Gehirns sollte klar sein, dass das Unsinn ist:

Wieso soll bei einer beliebig (!) gewählten stetigen Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(0)=f(1) \end{eqnarray*}$ immer auch noch $\begin{eqnarray*} f(0)=f(1/2) \end{eqnarray*}$ gelten???

Da lassen sich sofort unzählige Gegenbeispiele angeben, z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=x-x^2 \end{eqnarray*}$ .

Der Fehler liegt hier:

Zitat:

Original von drag00
1a. Da g(x) eine Zusammensetzung von zwei stetigen Funktionen, ist g(x) auch stetig. Richtig?
1b. $\begin{eqnarray*} g(0) = f(0) - f(1/2) ~{\color{red}=}~ f(1/2) - f(0) \end{eqnarray*}$

Wieso sollte dieses letztere $\begin{eqnarray*} {\color{red}=} \end{eqnarray*}$ gelten? unglücklich

Nein, es ist allenfalls die Umformung $\begin{eqnarray*} g(0) = -\left( f(1/2) - f(0) \right) \end{eqnarray*}$ zulässig - und nützlich.

Zitat:

Original von drag00
$\begin{eqnarray*} g(1/2) = f(1/2) - f(1) = f(1/2)- f(0) \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig. Und es bedeutet dann $\begin{eqnarray*} g(1/2) = -g(0) \end{eqnarray*}$ , d.h. die beiden Funktionswerte an den Intervallenden besitzen verschiedene Vorzeichen.

01.03.2018, 16:19

drag00

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Entschuldigung für den Fehler ich habe es verstanden. Aber was bringt das genau, dass wir jetzt g(1/2)=-g(0) haben?

01.03.2018, 16:26

HAL 9000

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Vom Zwischenwertsatz für stetige Funktionen hast du aber schon mal gehört?

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