Stetigkeit Mehrdimensional

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Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Mehrdimensional
Hallo,

habe die Funktion und soll zeigen, dass die auf ganz stetig ist.

Also betrachten:





Seien nun beliebe Folgen mit

Dann gilt nach obiger Abschätzung:

Also folgt die Behauptung.

Ist das richtig so?

Danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Mehrdimensional
Zitat:
Original von Jefferson1992


Vielleicht solltest du am Anfang auch den Betrag nehmen.

Wie wurde denn der Funktionswert von f im Punkt (0, 0) definiert? Ansonsten ok.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

AH sorry. Beträge hab ich vergessen ..

Im Punkt (0,0) als 0 definiert.

Okay. Super. Danke!

War mir unsicher, ob es bei der Wurzel egal ist, ob ich ein oder ein weglasse. Denn wenn ich weglasse und ein da stehen habe, komme ich nicht weiter.
Ist das denn egal?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, ist es nicht, wie du selbst merkst. Das |x| im Nenner bekommst du nicht "wegkompensiert".
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber um Stetigkeit zu beweisen, reicht es aus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das wird aus dem besagten Grund nicht funktionieren.
 
 
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich verwirrt. Ich will ja zeigen, dass die Funktion in (0,0) stetig ist.

Habe beliebige Folgen genommen und durch eine Umformungen gezeigt, dass es stetig ist.

Jetzt muss ich also noch zeigen, dass es stetig ist, wenn ich das in der Wurzel nicht weglasse?
Verstehe ich das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Mehrdimensional
Du hast den Funktionsterm durch Weglassen von x² im Nenner geeignet nach oben abgeschätzt. Es entstand ein Term, der für alle Nullfolgen gegen Null konvergiert. Damit ist alles gut und mehr ist auch nicht zu tun.

Wenn du stattdessen das y² im Nenner wegläßt, funktioniert das nicht. Damit ist diese Abschätzung ungeeignet. Das spricht aber nicht gegen die Stetigkeit.

Alternativ kannst du auch ohne Abschätzung die (allgemeine) Folge nehmen, wobei r_n eine Nullfolge ist.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Okay super danke!

Also es reicht eine Abschätzung nach oben, die funktioniert. Es ist für den Beweis der Stetigkeit vollkommen egal (wenn möglich), ob ich dabei ein x oder y weglasse, solange ich eine Abschätzung finde, die für jede beliebige Folge gegen (x_0,y_0) konvergiert.

Vielen Dank! Dann weiß ich jetzt, wie ich da vorgehen kannsmile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Wenn (vor allem im Nenner) ein Term wie x²+y² auftritt, ist die von mir genannte Alternative durchaus eine Überlegung wert.
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