Zeige Funktion lokal Lipschitz-stetig

01.03.2018, 14:45	Susifgzkhrf	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Funktion lokal Lipschitz-stetig Meine Frage: f(x)=xsin(1/x) für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ und f(x)=0 für x=0. Zeige f(x) ist in x=0 Lipschitz-stetig. Meine Ideen:* Wir haben eine Lösung und sind uns aber nicht sicher ob das wirklich korrekt ist: Sei x!=0 und y=0: $\begin{eqnarray} \| f(x)-f(y) \| = \| xsin(1/x) \| \leq \| x \| = \| x-y \|= 1\| x-y \| \end{eqnarray}$ Somit wäre bei uns L=1 die Lipschitz-Konstante und die Funktion wäre somit stetig. Stimmt das?
01.03.2018, 16:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, wie es scheint, hast du eine merkwürdige Auffassung von lokaler Lipschitzstetigkeit. Ich kenne es eher so, wie es auch in der Wikipedia formuliert ist: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ heißt lokal Lipschitz-stetig im Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , wenn es eine Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass die auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eingeschränkte Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Lipschitzstetig ist. Im Klartext: Es muss ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ sowie ein $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ geben, so dass für alle $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|y-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\|<L\cdot \|x-y\| \end{eqnarray}$ gilt. Und just das trifft auf dein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ nicht zu.

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