Ableitung ausrechnen

01.03.2018, 22:07	Kaidan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung ausrechnen Meine Frage: Hi, sei $\begin{eqnarray} A\in O(1,3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\in\mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ . Sei weiter $\begin{eqnarray} u:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ . Bestimmen muss ich nun $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i}u(Ax+b) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Uns wurde hierzu eine Formel gegeben, aber ich verstehe leider nicht wieso dies so sein soll: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i}u(Ax+b)= \sum\limits_{j=0}^{3}A_{kj}(\frac{\partial}{\partial x_k})(Ax+b) \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erklären wie man hierauf kommt? Danke
02.03.2018, 00:50	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn bitte $\begin{eqnarray} O(1,3) \end{eqnarray}$ ?
03.03.2018, 15:08	Kaidan	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, gar nicht daran gedacht... $\begin{align} O(1,3)=\{A\in GL(4,\mathbb{R})\| A\eta A^T=\eta \} \end{align}$ mit $\begin{align} \eta=\text{diag}(1,-1,-1,-1) \end{align}$ Gruss Kaidan
03.03.2018, 20:07	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal ist ja klar: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i}u(Ax+b)= u_{x_i}(Ax+b)\cdot \frac{\partial}{\partial x_i}(Ax+b) \end{eqnarray}$ (gewöhnliche Kettenregel). Also müssen wir uns nun nur noch überlegen, was $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i}(Ax+b) \end{eqnarray}$ ist. Das b können wir ignorieren, da es konstant ist. Ferner gilt ja $\begin{eqnarray} Ax=(\sum_{k=1}^4 a_{ik}x_k)_{i=1}^4 \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i}(Ax+b) =\frac{\partial}{\partial x_i}(\sum_{k=1}^4 a_{jk}x_k)_{j=1}^4 = (a_{ji})_{j=1}^4 = \text{ die i-te Spalte von A } \end{eqnarray}$ . Leider habe ich keine Idee, wie man die Voraussetzung, dass A aus O(1,3) kommt, nun gewinnbringend bei der Berechnung der Ableitung einsetzen könnte. Vielleicht konnte ich ja so schon etwas helfen?

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