Eulersche Zahl mit Reihe berechnen

02.03.2018, 16:21

Elle1

Eulersche Zahl mit Reihe berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe in der ich die Vorgehensweise in der Lösung nicht nachvollziehen kann.
Aufgabe: Berechnen Sie mit der Reihe
$\begin{eqnarray*} e=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
die Eulersche Zahl auf vier Dezimalstellen hinter den Komma genau.

Meine Ideen:
Ich hätte jetzt einfach die Summe berechnet bis ich auf vier dezimalzahlen aber verstehe nicht die Lösung mit dem Restglied. unglücklich

02.03.2018, 17:35

005

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RE: Eulersche Zahl mit Reihe berechnen

Zitat:

Original von Elle1
Ich hätte jetzt einfach die Summe berechnet bis ich auf vier dezimalzahlen ...

Das soll sicher heissen: "bis vier korrekte Nachkommastellen dastehen".

Schoen. Und woran merkst Du das?

02.03.2018, 17:43

Elle1

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Ja genau sorry natürlich meine ich vier korrekte Nachkommastellen. Naja e= 2,718281828 also muss ich auf 2,7182 kommen und durch Ausprobieren komme ich auf die Summe von 0 bis 8.

02.03.2018, 18:12

005

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Du sollst nicht den bekannten Wert von e benutzen und durch Rumprobieren herausfinden, wie viele Glieder schon vier richtige Nachkommastellen ergeben. Du sollst alleine mit der Reihe vier sicher richtige Nachkommastellen von e finden. Dazu brichst Du die Reihe nach dem n-ten Glied ab. Der vernachlaessigte Reihenrest soll sicher so klein sein, dass in der Summe der ersten n Glieder die ersten vier Nachkommastellen stimmen. Um das passende n zu finden musst Du den Reihenrest

$\begin{eqnarray*} R=\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

abschaetzen. Die Musterloesung kommt mit Lagrange-Restglied auf

$\begin{eqnarray*} 0<R<\frac{3}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

und will dann R unter 0,0005 druecken. Bisschen wenig fuer vier korrekte Nachkommastellen, aber die Methode sollte klar sein.

02.03.2018, 18:52

HAL 9000

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Man kann für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ per geometrischer Reihe auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{x}{n+1}\right)^k = \frac{x^{n+1}}{(n+1-x)\cdot n!} \end{eqnarray*}$ abschätzen, für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ bedeutet das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{n\cdot n!} \end{eqnarray*}$ .

Dies verwendet reicht auch $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ für Fehler $\begin{eqnarray*} \leq 0.5\cdot 10^{-4} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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