Oszillation und Polynominterpolation

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BlueBerrytrash99 Auf diesen Beitrag antworten »
Oszillation und Polynominterpolation
Meine Frage:
Hallo smile
Ich suche jemanden, der sich mit der Polynominterpolation und Oszillation auskennt.
Ich bin gerade dabei, eine Projektarbeit über das Thema Polynominterpolation zu schreiben und habe mit meinem Lehrer die Vereinbarung getroffen, einen Schwerpunkt auf das Thema Oszillation zu legen. Nun habe ich aber meine Probleme mit dem Thema.


Meine Ideen:
Also ich habe gelesen, dass bei Polynomen hohen Grades die Interpolation schwierig ist, da die Funktion dann anfängt, zu oszillieren, also die Kurve stark zwischen den Punkten schwingt.
Das habe ich einigermaßen verstanden, aber ich würde es gerne an einem Beispiel zeigen und bekomme das nicht hin. Habe bereits 3 Versuche durchgeführt, in denen ich einfach beliebige Punkte versucht habe, zu interpolieren, aber ich habe es keinmal hinbekommen (kann daran liegen, dass der Grad des Polynoms, das ich erstellen will, höher ist, als die Anzahl der Punkte?). Daraufhin habe ich einfach Punkte der Funktion
ausgewählt und diese interpoliert (kam auch auf die Gleichung raus). Man sieht aber keinerlei Oszillation.
Meine Frage: Muss ich irgendwelche Punkte-Kriterien beachten, um den Grad des Polynoms zu bestimmen? Und wie kann ich Oszillation bei einer Funktion gezielt "hervorrufen"?

Dankeschön smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wenn du auf einem Intervall [a,b] eine Funktion interpolierst, meine ich, dass innerhalb dieses Intervalls im Allgemeinen keine großartige Oszillation auftritt. Die Probleme entstehen außerhalb des Intervalls.

Beispiel: Interpoliere mal den Sinus mit Schrittweite h=pi/2 auf dem Intervall [-pi, pi] (also sprich, Polynom höchstens vierten Grades aufstellen durch
(-pi | 0), (-pi/2 | -1), (0 | 0), (pi/2 | 1), (pi | 0)). Innerhalb dieses Intervalls wird es recht ok aussehen. Aber setz dann mal 2pi ein (dies heißt dann Extrapolation) und schaue, wie weit das Ergebnis vom dem Funktionswert des Sinus (der da lautet: 0) entfernt ist.

Was dir evtl. erleuchtend weiterhelfen könnte, ist, der Vergleich mit der Interpolation mithilfe kubischer Splines (= stückweise definierte Funktionen, die immer auf einem Intervall der Länge / Schrittweite h ein Polynom dritten Grades sind). Die Spline-Interpolation hat viele der hässlichen Eigenschaften, mit denen man bei der Polynom-Interpolation leben muss, nicht mehr. Neben der Oszillation lohnt es sich auch, die Krümmung zu betrachten.

LG
sibelius84
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



die Oszilationen treten verstärkt am Intervallende von auf.

Natürlich ist das jetzt kein Interpolationspolynom nach Lagrange oder Newton.

Versuch deshalb vielleicht mal als schlechtes Beispiel für die Approximation von zu interpolieren
Blueberrytrash98 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oszillation und Polynominterpolation
Hi, danke für die Antwort smile
Ich habe die Interpolation gerade mal mit dem Newtonschen Interpolationsverfahren durchgeführt und bin auf die passende Funktion gekommen. Habe sie mir auf Geogebra grafisch darstellen lassen und sie verläuft durch die Punkte. Ich sehe aber keinerlei Oszillation o.ä.?
Danke für die Hilfe smile
Blueberrytrash97 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oszillation und Polynominterpolation
Zitat:
Original von sibelius84
Hi,

wenn du auf einem Intervall [a,b] eine Funktion interpolierst, meine ich, dass innerhalb dieses Intervalls im Allgemeinen keine großartige Oszillation auftritt. Die Probleme entstehen außerhalb des Intervalls.

Beispiel: Interpoliere mal den Sinus mit Schrittweite h=pi/2 auf dem Intervall [-pi, pi] (also sprich, Polynom höchstens vierten Grades aufstellen durch
(-pi | 0), (-pi/2 | -1), (0 | 0), (pi/2 | 1), (pi | 0)). Innerhalb dieses Intervalls wird es recht ok aussehen. Aber setz dann mal 2pi ein (dies heißt dann Extrapolation) und schaue, wie weit das Ergebnis vom dem Funktionswert des Sinus (der da lautet: 0) entfernt ist.

Was dir evtl. erleuchtend weiterhelfen könnte, ist, der Vergleich mit der Interpolation mithilfe kubischer Splines (= stückweise definierte Funktionen, die immer auf einem Intervall der Länge / Schrittweite h ein Polynom dritten Grades sind). Die Spline-Interpolation hat viele der hässlichen Eigenschaften, mit denen man bei der Polynom-Interpolation leben muss, nicht mehr. Neben der Oszillation lohnt es sich auch, die Krümmung zu betrachten.

LG
sibelius84


Hi, danke für die Antwort
Ich habe die Interpolation gerade mal mit dem Newtonschen Interpolationsverfahren durchgeführt und bin auf die passende Funktion gekommen. Habe sie mir auf Geogebra grafisch darstellen lassen und sie verläuft durch die Punkte. Ich sehe aber keinerlei Oszillation o.ä.?
Danke für die Hilfe smile
Blueberrytrash96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oszillation und Polynominterpolation
Zitat:
Original von sibelius84
Hi,

wenn du auf einem Intervall [a,b] eine Funktion interpolierst, meine ich, dass innerhalb dieses Intervalls im Allgemeinen keine großartige Oszillation auftritt. Die Probleme entstehen außerhalb des Intervalls.

Beispiel: Interpoliere mal den Sinus mit Schrittweite h=pi/2 auf dem Intervall [-pi, pi] (also sprich, Polynom höchstens vierten Grades aufstellen durch
(-pi | 0), (-pi/2 | -1), (0 | 0), (pi/2 | 1), (pi | 0)). Innerhalb dieses Intervalls wird es recht ok aussehen. Aber setz dann mal 2pi ein (dies heißt dann Extrapolation) und schaue, wie weit das Ergebnis vom dem Funktionswert des Sinus (der da lautet: 0) entfernt ist.

Was dir evtl. erleuchtend weiterhelfen könnte, ist, der Vergleich mit der Interpolation mithilfe kubischer Splines (= stückweise definierte Funktionen, die immer auf einem Intervall der Länge / Schrittweite h ein Polynom dritten Grades sind). Die Spline-Interpolation hat viele der hässlichen Eigenschaften, mit denen man bei der Polynom-Interpolation leben muss, nicht mehr. Neben der Oszillation lohnt es sich auch, die Krümmung zu betrachten.

LG
sibelius84


Hi, danke für die Antwort
Ich habe die Interpolation gerade mal mit dem Newtonschen Interpolationsverfahren durchgeführt und bin auf die passende Funktion gekommen. Habe sie mir auf Geogebra grafisch darstellen lassen und sie verläuft durch die Punkte. Bedeutet Oszillation jetzt einfach, dass wenn ich andere Punkte der Sinuskurve einsetze, die Werte anders sind? Denn das ist ja klar. Ich sehe nämlich nicht wirklich irgend eine Oszillation.. Erstaunt2
Danke smile
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi BBT,

ich habe verstanden, dass du das Polynom interpoliert hast und dir mit GeoGebra den Graphen hast anzeigen lassen. Freude

Was kam denn dann raus, als du 2pi eingesetzt hast? Und hast du mal etwas über kubische Splines / Splineinterpolation / Minimalkrümmungseigenschaft nachgelesen?
Blueberrytrash95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Hi BBT,

ich habe verstanden, dass du das Polynom interpoliert hast und dir mit GeoGebra den Graphen hast anzeigen lassen. Freude

Was kam denn dann raus, als du 2pi eingesetzt hast? Und hast du mal etwas über kubische Splines / Splineinterpolation / Minimalkrümmungseigenschaft nachgelesen?


Wenn ich 2pi eingesetzt habe, kommt da gerundet etwas um die -15 raus smile das ergibt ja auch insofern Sinn, dass ich das Polynom gar nicht für diese Werte ausgelegt habe smile Aber irgendwelche Schwankungen oder etwas anderes, das auf Polynominterpolation hindeuten könnte, finde ich nicht verwirrt ..
Ich habe vorher ein paar grundlegende Dinge über die Splineinterpolation gelesen, konnte das aber bis jetzt nicht wirklich in meine Arbeit einbauen..
Blueberrytrash94 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oszillation und Polynominterpolation
ich meinte natürlich Oszillation Hammer
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Das spricht ja schon mal nicht für die Polynominterpolation: Das betrachtete Intervall ist [-pi,pi] und kaum geht man auch nur die halbe Intervalllänge darüber hinaus, bekommt man ein Ergebnis, das von der Realität meilenweit entfernt und daher praktisch unbrauchbar ist.

Ok, Oszillation heißt ja: Es geht wie wild immer hin und her. Ich sehe ein, dass dir das evtl. für die Oszillation nicht wirklich weiterhilft. Aber um mal auf Dopaps Beispiel aufzubauen: Interpolier doch mal den Cosinus, durch den Punkt (0|1) und ansonsten nur durch seine Nullstellen. Nimm erstmal je zwei Nullstellen links und rechts und schaue, wie weit dein Interpolant dann zwischen den Nullstellen schwankt. Bestimmt höher als 1 und tiefer als -1, im Gegensatz zum Cosinus, oder? Dann nimm je drei bis vier Nullstellen links und rechts und schaue nochmal. So könntest du tatsächlich Oszillation bekommen.

Das mit der Spline-Interpolation würde ich, so irgendwie noch Raum besteht / Seiten zu füllen sind, mit in deine Arbeit aufnehmen - im Zweifel vielleicht sogar mit einem kleinen Extra-Abschnitt. Wenn man sich die Schwächen der Polynominterpolation vor Augen führt, ist es wirklich erhellend, sich das daneben mal vergleichend anzuschauen.
Blueberrytrash93 Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Zitat:
Original von sibelius84
Ok. Das spricht ja schon mal nicht für die Polynominterpolation: Das betrachtete Intervall ist [-pi,pi] und kaum geht man auch nur die halbe Intervalllänge darüber hinaus, bekommt man ein Ergebnis, das von der Realität meilenweit entfernt und daher praktisch unbrauchbar ist.

Ok, Oszillation heißt ja: Es geht wie wild immer hin und her. Ich sehe ein, dass dir das evtl. für die Oszillation nicht wirklich weiterhilft. Aber um mal auf Dopaps Beispiel aufzubauen: Interpolier doch mal den Cosinus, durch den Punkt (0|1) und ansonsten nur durch seine Nullstellen. Nimm erstmal je zwei Nullstellen links und rechts und schaue, wie weit dein Interpolant dann zwischen den Nullstellen schwankt. Bestimmt höher als 1 und tiefer als -1, im Gegensatz zum Cosinus, oder? Dann nimm je drei bis vier Nullstellen links und rechts und schaue nochmal. So könntest du tatsächlich Oszillation bekommen.

Das mit der Spline-Interpolation würde ich, so irgendwie noch Raum besteht / Seiten zu füllen sind, mit in deine Arbeit aufnehmen - im Zweifel vielleicht sogar mit einem kleinen Extra-Abschnitt. Wenn man sich die Schwächen der Polynominterpolation vor Augen führt, ist es wirklich erhellend, sich das daneben mal vergleichend anzuschauen.


Vielen Dank für die Antwort und die Hilfe, ich werde mich der Rechnung morgen mal annehmen 😁
Blueberrytrash93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oszillation und Polynominterpolation
Zitat:
Original von Dopap


die Oszilationen treten verstärkt am Intervallende von auf.

Natürlich ist das jetzt kein Interpolationspolynom nach Lagrange oder Newton.

Versuch deshalb vielleicht mal als schlechtes Beispiel für die Approximation von zu interpolieren


Danke für die Antwort smile
Ich hab jetzt mal interpoliert, im Intervall [0,16] und durch ein Polynom 4. Grades. Das hat ganz gut geklappt, über das Intervall hinaus verhält dich Funktion sich natürlich keineswegs wie , aber innerhalb des Intervalls zeigt sie nur geringe Abweichungen. Trotzdem sehe ich auch hier keine Anzeichen für Oszillation? verwirrt Ich bin mir nicht sicher, wie ich Oszillation gezielt hervorrufen kann Erstaunt1
Danke smile
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