Addition von Schwingungen

04.03.2018, 12:38

KonverDiv

Addition von Schwingungen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe die Beiden Schwingungen

$\begin{eqnarray*} a_{1}=\sin(3x+\frac{\pi }{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2}=\sin(2x+\frac{\pi }{6}) \end{eqnarray*}$

diese möchte ich nun Addieren:

Meine Ideen:
Mein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} a_{ges}=2*\cos(\frac{3-2}{2}x + \frac{\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} }{2} )*sin(\frac{3+2}{2}x + \frac{\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6} }{2} ) \end{eqnarray*}$

Graphisch scheint dass zu passen. Jetzt würde mich aber interessieren, was wäre, wenn die Amplitude unterschiedlich ist. Sagen wir wir haben nun:

$\begin{eqnarray*} a_{1}=4*\sin(3x+\frac{\pi }{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2}=3,5*\sin(2x+\frac{\pi }{6}) \end{eqnarray*}$

Wie würde man das nun berechnen? smile

05.03.2018, 10:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da stellt sich die grundsätzliche Frage, was du mit "berechnen" meinst: I.d.R. ist die Form, wo man das ganze als Summe von Sinusfunktionen darstellt, die angestrebte Lösung (z.B. bei der Fourierzerlegung). Diese Form liegt bei dir von Beginn an vor, da wäre also gar nichts zu tun.

Du scheinst auf eine Produktzerlegung abzuzielen, was eher ungewohnt ist. verwirrt

05.03.2018, 19:13

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi HAL, ich meine eher das Überlagern von Schwingungen smile

Hier habe ich was gefunden: https://elearning.physik.uni-frankfurt.d...l_6/node51.html

Nur mein Problem ist, dass diese Beispiele immer mit gleicher Amplitude arbeiten. Daher bin ich sehr an einer Rechnung interessiert, wie in meinem Beitrag zuvor, wo die Phase, Amplitude und die Periode unterschiedlich ist smile

$\begin{eqnarray*} a_{1}=4*\sin(3x+\frac{\pi }{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2}=3,5*\sin(2x+\frac{\pi }{6}) \end{eqnarray*}$

05.03.2018, 19:49

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

forme doch das Tupel (4 | 3,5) in (zweidimensionale) Polarkoordinaten um: Wir haben $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{4^2+3,5^2} = \sqrt{28,25} \end{eqnarray*}$ und damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} \varphi = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{28,25}}\right) \end{eqnarray*}$ . Damit ist also nun $\begin{eqnarray*} (4\,\vert\,3,5) = (r\cos(\varphi),r\sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$ , und dementsprechend

(edit: Nenner zu 3x+pi/3 korrigiert)
$\begin{eqnarray*} 4\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right) +3,5\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) = r\cos(\varphi)\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right) +r\sin(\varphi)\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right). \end{eqnarray*}$

Damit dann noch irgendwie weiterrechnen, unter Anwendung von Formeln, die sich aus den Additionstheoremen herleiten?

LG
sibelius84

05.03.2018, 20:02

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe! Hat geholfen Freude

05.03.2018, 22:08

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sibelius84
...
$\begin{eqnarray*} 4\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right) + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\sin\left(3x+\frac{\pi}{\color{red}3}\right) + ... \end{eqnarray*}$

mY+

06.03.2018, 14:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KonverDiv
Hi HAL, ich meine eher das Überlagern von Schwingungen smile

Beliebige Phasen und Amplituden bei gleicher Periode sind kein Problem, die Überlagerung solcher Schwingungen lässt sich als eine einzige Schwingung derselben Periode darstellen.

Sind hingegen die Perioden unterschiedlich, geht das nicht mehr. Sind die Verhältnisse der Perioden zueinander gar irrational, dann ist die entstehende Funktion nicht mal mehr periodisch.

Insofern ist mir immer noch nicht klar, auf was für eine Darstellung du in diesem Fall hinauswillst. Das hier

Zitat:

Original von sibelius84
$\begin{eqnarray*} 4\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right) +3,5\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) = r\cos(\varphi)\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right) +r\sin(\varphi)\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right). \end{eqnarray*}$

hat die anfängliche Summendarstellung in eine andere Summendarstellung überführt, von der es aber im Sinne einer wirklichen Vereinfachung auch nicht mehr sonderlich weitergeht (es sei denn, sibelius84 hat da noch eine schlaue Idee).

06.03.2018, 18:01

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Mich hatte ehrlich gestanden auch etwas gewundert, dass das schon geholfen hat. Anhand der eingefügten Skizze erkennt man ja schon sehr schön, dass das keine Funktion der Form a·sin(bx+c) ist. Tja, manchmal kennt man die Bedürfnislage des Fragenden halt nicht so genau. Dann ist es umso schöner, wenn so ein kurzer Anstupser schon reicht. (Hoffe diesmal nicht zu lang und geschraubt? Augenzwinkern

)

06.03.2018, 21:46

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi zusammen,

ja ich wollte wirklich nur auf die von sibelius84 gelieferte Antwort hinaus. Das hat für mich schon gereicht.

Zitat:

Beliebige Phasen und Amplituden bei gleicher Periode sind kein Problem, die Überlagerung solcher Schwingungen lässt sich als eine einzige Schwingung derselben Periode darstellen.

Solche Aufgaben habe ich schon gerechnet, das war auch hilfreich und zugegeben auch noch machbar.

Danke euch nochmal für die Unterstützung.

PS: Im Forum scheint jetzt MathJax "dynamisch" genutzt zu werden, vorher waren das ja glaube ich Bilder die aus Mathcode erzeugt worden sind. Danke an denjenigen, der das ermöglicht hat smile

Neue Frage »

Antworten »

Addition von Schwingungen

Verwandte Themen